代数元(algebraic element)是
域论的基本概念之一。设K是域F的扩域，K中元α称为F上
代数元，是指α为F上某非常量多项式f(x)的根，即存在F中元a0，a1，…，an使：
其中n>0，an≠0。若这样的多项式不存在，则α称为F上的超越元。若α是F上的代数元，F[x]中以α为根的次数最低的首1多项式称为α的
最小多项式，则其次数n称为α在F上的次数，α称为n次代数元。最小多项式在F上是不可约的。
域论是
代数数论的重要理论之一。它深刻地刻画了(相对)
阿贝尔扩张。基本定理如下：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，
伽罗瓦群为G=G(K/k)，则存在k的模f(称为K/k的导子，是k的一个除子)，使得对k的任意的模m，由f|m得出G同构于m射线类群I(m)/PmN(m)，式中I(m)为与m互素的k的理想集，N(m)为与m互素的K的理想到k的范全体，Pm为模m余1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧当且仅当v|f；k的与m互素的素理想p在K完全分裂当且仅当p∈PmN(m)。反之，对k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，总存在惟一阿贝尔扩张K/k，使得H=kPmN(m)且上述事实均成立。特别地，G(K/k)I(m)/H。更经常的是用伊代尔语言叙述类域论的定理。基本定理：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，则伽罗瓦群G(K/k)同构于Jk/kNJk，式中Jk为k的
伊代尔群，NJK为K的伊代尔群到k的范。上述群的同构由阿廷映射给出。由此可得出，数域k的诸有限阿贝尔扩张K/k与Jk的含k诸开子群H之间一一对应，即K对应于H=kNJK，称为H的类域，G(K/k)Jk/H；这一对应是这两个格(对于复合(或积及交))的反向(包含关系)格同构。类域论有系统的定理和应用，有多种不同的表述方式。对于局部域的阿贝尔扩张有类似的定理(
局部类域论)，对于有限域上的单变量函数域也有类似的定理。
域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为
基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的
向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。
若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：
g(α1，α2，…，αn)≠0.
由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的
代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的
充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是
施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。
施泰尼茨是德国数学家。生于德国
西里西亚(Silesia)(今属
波兰)，卒于
基尔(Kiel)。1894年获得博士学位，后任教于
布雷斯劳(Breslau)工业学院(1910～1920)和基尔大学(1920—1928)。他对抽象域进行了综合的研究，著有《域的代数理论》(AlgebraischeTheorie der Körper，1910)。 施泰尼茨认为，每一个域K都可以从它的素域(即K的所有子域的公共元素所构成的子域)出发，经过如下的添加而得到：首先作一系列(可能无限多的)超越添加(transcendentaladjunction)得到一个超越扩张，然后对这个超越扩张又作一系列代数添加。如果一个域K’能够从一个域K经过一串单纯代数添加而得到，那么就称K’为K的一个代数扩张。施泰尼茨证明了，对于每一个域K，存在一个唯一的代数封闭域K’，使得K’是K的代数扩张。他还研究了伽罗瓦方程理论在域中的有效性问题。