代数整数环(ring of algebraic integers)亦称整数环,是一种特殊的交换整环,
代数数域K中的代数整数全体OK称为K的整数环,K是OK的商域,设L⊃K是两个
数域,则OL是OK在L的
整闭包,OL也是有限生成的OK模,OK是
戴德金环,其
理想可惟一(不计次序)分解为其
素理想的乘积,OK是惟一析因环当且仅当OK是
主理想环,这也等价于K的理想类数为1。由戴德金环上模结构定理(
施泰尼茨(Steinitz,E.)(1912年)-卡普兰斯基(Kaplansky,I.) (1952年))知,OL ≌On-1K⊕J,式中n=[L∶K],J是K中理想,J的理想类由L和K惟一决定。特别地,当J为主理想时(例如,当K的理想类数为1时总是这样),有OL≌OnK,即存在ω1,ω2,…,ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。
基本介绍
代数整数环(ring of algebraic integers)亦称整数环,是一种特殊的交换整环,代数数域K中的代数整数全体OK称为K的整数环,K是OK的商域,设 是两个数域,则OL是OK在L的整闭包,OL也是有限生成的OK模,OK是戴德金环,其理想可惟一(不计次序)分解为其素理想的乘积,OK是惟一析因环当且仅当OK是主理想环,这也等价于K的理想类数为1。由戴德金环上模结构定理(施泰尼茨(Steinitz,E.)(1912年)-卡普兰斯基(Kaplansky,I.) (1952年))知, ,式中n=[L∶K],J是K中理想,J的理想类由L和K惟一决定。特别地,当J为主理想时(例如,当K的理想类数为1时总是这样),有 ,即存在ω1,ω2,…,ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn。
代数整数
代数整数(algebraic integer)亦称整数,
代数数的一种。它是有理整数(即自然数、零及其相反数)的推广。设α为
复数,若存在系数为有理整数的首一(即最高次项系数为1)多项式f(x)使f(α)=0,则称α为代数整数。若上述f(x)的常数项为±1,则α称为单位,所有整数全体构成一个交换环I,其商域(或称分式域)即为代数数全体构成的域A,单位即是环I中的可逆元素。代数整数的一个显著特点是,它们不一定能进行惟一不可约因子分解,例如,
由此导致理想概念的引入,整数的概念也被推广到普通算术域F,若S是F的一个赋值集,S中赋值的赋值环之交集中元素称为S整数。
相关定理
定义1 代数数 叫作是代数整数(简称作整数),如果存在一个系数属于Z的首1多项式 ,使得 。
引理1设 为代数数,因为 在Q上的极小多项式,则 为整数的充要条件是 。
系1 Q中只有有理整数才是(代数)整数。
定理1 以 表示二次域 (d是无平方因子的有理整数)中的全部整数所组成的集合,则当 时, ;而当d=1(mod 4)时, ,其中。
对于二次域K,可以直接验证定理1中求出的整数集合 事实上是K的子环。对于任意的数域K,Dedekind证明了K的整数集合 也是K的子环,换句话说,如果 和 均是K中的整数,则 和 亦是整数。这是一件不平凡的事情( 显然均是 中的整数,设想一下如何证明 也是整数),我们需要给出整数的其他刻画方式。
定理2 对于 ,下面几个条件彼此等价:
(1) 为(代数)整数;
(2)环 的加法群是有限生成的;
(3) 是C的某个非零子环R中的元素,并且R的加法群是有限生成的;
(4)存在有限生成非零加法子群 使得 。
定理3 若 和 均是整数,则 也是整数,特别地,数域K中全部整数组成的集合 是K的子环。
代数整数环:将 叫作是数域K的(代数)整数环,有理数域Q的整数环就是Z,而二次域的整数环已由定理1给出,现在我们来给出分圆域 的整数环。
定理4分圆域K= 的整数环是 。