在数学中，伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之，假设伽罗瓦群 作用在一个群 （通常是数论中出现的代数结构，如 等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。

伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。

伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。

伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题，例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用，第一个伽罗瓦上同调群分类了概形 上的扭子，这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论，可以用伽罗瓦上同调研究二次型式、中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。

一种重要的拓扑不变性质。可仿照线性空间的对偶空间的定义方式引入上同调群。若K是一个n维单纯复形，Cq(K)是q维整系数链群，则同态c：Cq(K)→Z(整数加群)称为K的一个q维上链。对于任意两个q维上链c和d，它们的和是这样的上链，它在任意xq∈Cq(K)上取值：(c+d)(xq)=c(xq)+d(xq)，所有q维上链在上述加法下成为一个交换群，它就是同态群Hom(Cq(K)，Z)，称为K的q维上链群，记为C(K).为区别起见可把原来的链群Cq(K)称为下链群.对于原来的边缘同态可用对偶同态来定义上边缘同态算子，设：q+1： Cq+1(K)→Cq(K)，

定义δ：C(K)→C(K)，对于K的q维上链c，δc是一个q+1维上链，它在任意xq+1∈Cq+1(K)上取值为：

δc(xq+1)=c(q+1xq+1).

从而δ°δ=0(或写成δ°δ=0).由此可定义C(K)的子群：

Z(K)=ker δ　与　B(K)=Im δ，

分别称为q维上闭链群与上边缘链群。商群：H(K)=Z(K)/B(K) (q∈Z)

称为复形K的q维上同调群，这些群中元素分别称为上闭链、上边缘链与上同调类.相应原来的同调群可称为下同调群。

设f：K→L是单纯映射，f={fq：Cq(K)→Cq(L)|q∈Z}是这单纯映射诱导的链映射，fq的对偶同态f：C(L)→C(K) (q∈Z)定义为，对于任意c∈C(L)，f(c)是K的q维上链，在K的q维链xq上取值(f(c))(xq)=c(fq(xq)).它满足δ°f=f°δ，称f为上链映射，因此f诱导出上同调群之间的同态：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意与f：K→L方向相反).同样地，可研究链同伦、连续映射用单纯逼近定理得到的诱导同态和类似于下同调群之间诱导同态的性质，所以上同调群也具有拓扑不变性、同伦型不变性.设K是n维单纯复形，其上、下同调群H(K)与Hq(K)的秩分别记为R与Rq，它们的挠子群分别记为T(K)与Tq(K) (q∈Z)，则上、下同调群之间有关系：

其中T-1(K)理解为零群。这表明上同调群由下同调群完全决定。

数论的一个重要分支，它以代数整数，或者代数数域为研究对象。不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。

代数数论主要起源于对费马猜想的研究。费马猜想(不定方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解)的证明可归结为n=4及n为奇素数情形的证明。19世纪中叶，库默尔试图利用n次本原单位根ζ把方程写成，从而证明费马猜想。但这需要有一个前提，即在分圆域Q(ζ)(添加单位根ζ到有理数域上生成的扩域)中，“整数”也像普通整数一样，可以唯一地分解成素数的乘积。但在狄利克雷的启发下，库默尔发现分圆域中的“整数”分解成素因子的乘积不具有唯一性。库默尔因此引入了“理想数”概念，每个“理想数”可以唯一地分解成素因子的乘积，这样建立了分圆域上的数论。戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，奠定了代数数论的基础。

高斯关于二次域的研究是代数数论的另一个重要起源。1801年，高斯发表的著名著作《算术研究》，展示了他的一个杰出的思想：把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环一一二次域和它的代数整数环上来研究，这也导致了代数数论的开端。

代数数论也是活跃的数学前沿理论。一方面是对一些古典问题得出新的结果。例如，1801年高斯曾提出过两个猜想：(1)只有有限多个类数为1的虚二次域；(2)存在无限多个类数为1的实二次域。关于(1)，1934年，海布雷恩证明了当d(k)(k为有理数域的二次扩域，d(k)为k的判别式)→∞时，hk(k的类数)→∞；1935年，西格尔证明了1966年贝克，1967年斯塔克证明了类数为1的虚二次域的虚二次域只有9个：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。猜想(2)仍在研究之中。另一方面就是不断开辟新的研究领域，如数域的阿贝尔扩张理论。1898—1899年间希尔伯特提出一个著名的猜想：希尔伯特类域猜想，1907年富特文格勒证明了这个猜想。韦伯对推广希尔伯特类域做了大量工作，例如，推广了理想类群的概念，得到一些全新的结果。1920年，高木贞治应用韦伯的理想类群概念，推广了希尔伯特的结果，建立了完整的类域论。现在类域论已发展成为极其重要的、成果甚丰的数学领域。

代数数论的一大特点是，不仅由它可解决一系列整数规律问题，而且它的成果几乎可以用到每一个数学领域中。

伽罗瓦是法国数学家。生于布拉伦，卒于巴黎。幼时受到良好的家庭教育。1827年开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西等人的论著。不久遇到数学教师里夏尔。里夏尔很快发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下，伽罗瓦开始了数学研究。1828—1830年，他得到许多后来称为伽罗瓦理论的重要结果。1830年进入高等师范学校学习，由于参加政治斗争被学校除名，并两次入狱。1832年5月，由于政治和爱情的纠葛，他在一次决斗中被打死。伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，建立了方程的根的“容许”置换。这些置换通过添加方程的根的域构成了自同构群。他得到了代数方程能用根式求解的充分必要条件是自同构群可解。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。他的工作是19世纪数学中最杰出的成就之一。但是伽罗瓦生前并未获得应有的荣誉。他在1829—1831年三次投到巴黎科学院的论文均被遗失或退回。在决斗前夕，他给朋友谢瓦利埃写了一封信，请求他把论文公诸于世，但没引起人们的注意。直到1846年，伽罗瓦的附有刘维尔注释的手稿才公开发表。1870年，若尔当在其著作《置换与代数方程论》中对伽罗瓦理论作了长篇论述。从此，伽罗瓦的工作才被完全理解。伽罗瓦理论对近代数学的发展产生了广泛而深远的影响。