余式定理是指当一个
多项式f(x) 除以一线性多项式(x – a) 的余式是 f(a)。余式定理可由
多项式除法的
定义导出。
我们可以一般化余数定理。如果 的商式是 、余式是 ，那么 。其中 的次数会小于 的次数。例如， 的余式是 。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是余式。 至于除式为2次以上时，可将n次除式的 根 列出联立方程：
余式定理可由
多项式除法的定义导出。根据多项式除法的定义，设被除式为 ，除式为 ，商式为 ，余式为 ，则有
如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能为常数，这时，余式也叫
余数，记为，即有根据上式，当时，有
在
代数，
因式定理(factor theorem)是关于一个
多项式的因式和
零点的定理。这是一个余式定理的特殊情形。因式定理指出，一个多项式有一个因式当且仅当。
因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。
若多项式已知一个或数个
零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：