佩尔方程，是一种不定二次方程。Pell方程，古希腊和印度的数学家对此类方程的研究做了最早的贡献，由费马首先进行了深入研究，
拉格朗日给出了解决方案，但后此类方程来却被欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程沿续。
基本介绍
佩尔方程是一种不定二次方程。
古希腊
数学家在计算2的平方根时，尝试使用了这类方程中的一个，
婆罗摩笈多(Brahmagupta)对佩尔方程的研究进行了最早的贡献，佩尔方程和
欧几里德算法一起使用，可计算一个正整数的
平方根的近似值。由于欧拉最早把此类方程称为佩尔方程，所以就有了这个名词了。实际上，数学家
费马深入研究了这类方程，
拉格朗日给出了解决方案。所以在数学界，它也被称为“佩尔-费马方程”。
....(1)
(1)一定有无穷多组正整数解
假设( )是①中使 最小的正整数解（称(1)的基本解）， 那么①的所有的正整数解可写为
且不难导出,满足的线性递推关系
佩尔方程与
连分数，
二次型，
代数数域等等都有密切联系。
在一般的
函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和
向量丛的稳定性有着微妙的关系。
以上的公式就是Pell方程的一般形态
佩尔方程通解
解的存在性证明：
(1) 首先证明存在无穷多个正整数 满足
记 = ，考察集合 ，显然对于任意正整数，均存在 满足 （事实上，此集合中每个元数都在(0,1)之内. 作区间 、 、 、 ，那么当 从0取到Q时，由抽屉原理即知）
于是 ，
即 .
让Q从小到大取遍所有正整数，就可得到无穷多组正整数 。证毕。
(2) 其次对如上的 我们有 ，
于是 ，这意味着 只能取到有限个整数，因此必存在 使得 有无穷多解.
(3) 对于上述的无穷多组 ，由抽屉原理，必存在两组解 与 ，满足 ， .
考虑
和，
将两式相乘可得
因为同余关系所以为整数，因为解与不同，所以可以推知,
那么就是Pell方程的一个解。命题得证。
第II型
定义
设d是正整数，且非平方数。
下面的不定方程称为第II型佩尔（Pell）方程：
x^2-dy^2=-1......②
第II型解
如果②有正整数解，设(a,b)是②的正整数解中使x+y√d最小的解（称(a,b)为②的基本解），则②的全部正整数解可以表示为：
x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) （n为任意正整数）
而且记x0+y0√d=(a+b√d)^2，则(x0,y0)为①的基本解。
但判定方程②是否有正整数解是一件十分困难的事情。见下面的方法。
pell方程解
采用D的
算术平方根的循环简单连分数，令a0=D的算术平方根,a(n+1)=1/(an-[an]),作数列bn=[an],则bn就是D的算术平方根的连分数的那些分母做成的数列，D^0.5=[b0,b1,b2,b3,......]请参考
连分数词条，事实上，当D是非平方正整数时，D的平方根可以用循环简单连分数表示为[c0,c1,c2,...cm,2c0,c1,c2,...,2c0,...]，此时，若是m是奇数，则[c0,c1,c2,...cm]=x/y(化简为分子分母都是整数的普通分数后，且此时是最小解),而用前任意节循环节除去最后一个数2c0后得到的渐近分数都可以作为pell方程的解；若m是一个偶数，则pell方程的最小解需要用到前两节循环节除去最后的2c0,此时前1，3，5，...节循环节除去最后的2c0后得到的解将会是x^2-dy^2=-1的解，前2，4，6，...节循环节除去最后的2c0得到的都是pell方程的解。顺便提一下，当m是奇数的时候，x^2-dy^2=-1无正整数解。
解较大pell
92x^2+1=y^2，印度的婆什迦罗在他的文集中提到：能在一年内找出它的正整数解的人可以叫做数学家。而其实它的解并不大，婆什迦罗处理的都是特殊的pell方程，并未对一般情形做出证明，但是在
中世纪，这已经是印度数学的最高成就，最小的x=120，y=1151，由(1151-120*1151^0.5)^n展开可以得到任意多组解（其实是所有解），其它的pell方程的通解也能这样得到。
271x^2+1=y^2,根号271的连分数到第一节循环节为止是[16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32],除去最后的32，得到最小的解为x=7044978537,而y=115974983600
d 小于等于100时，d=61时，x的最小解最大(x,y) = (1766319049,226153980)
d 小于等于1000时，d=661时，x的最小解最大(x,y) = (16421658242965910275055840472270471049, 638728478116949861246791167518480580)