解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与中的概念物理学有联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用，例如，应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学，弹性力学，磁场，电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保行映射理论的发展。

又称保形映照。解析函数实现的映射有许多重要性质，如“解析函数将区域映射为区域”，“解析函数在其导数不为零的点的邻域内映射是双方单值的。”但最重要的映射特征是：双方单值的解析映射一定是保形映射。

所谓保形映射是指满足以下两个条件的映射：①过一定点的曲线的正向切线到其象曲线上对应点的正向切线的转角是一个与曲线的选择无关的常数，称其为映射在定点的转动角度。②过一定点的象曲线上一动点到定点的距离与原象曲线上对应点的距离之比，当动点沿曲线趋向定点时的极限为一与曲线的选取无关的常数，称其为映射在定点的伸缩率。上述性质①有一种等价的形式：①′ 过定点的任意两条曲线经映射后其转角的大小及方向均不变，形象地称这一性质为同向保角性 ，①′与②一起表明在一定点附近的一个小三角形，与其象“三角形”（一般是曲边三角形）近似地同向相似，称其为保形映射。

保形映射的基本定理是黎曼映射存在唯一性定理，它断言：若D 是一个边界点集多于一个点的单连通区域，Z0∈D ，则一定存在唯一确定的解析函数w=f（Z）将D双方单值保形映射为单位圆|w|0，这一定理在1851年作为 B.黎曼的博士论文题目提出后，100多年来已被许多数学家用多种方法证明，并将其推广到多连通区域的情形，在黎曼映射定理提出之后，C. 卡拉西奥多里证明了边界对应定理，即在黎曼映射定理的条件下 ，若бD= L是一条简单闭曲线，则映射函数f （Z） 可以连续开拓到L上且实现L与|w|=1之间的双方单值连续映射。

研究定义在复数平面上的函数性质的科学。它既是数学的 分支，也是函数论的分支。它的研究对象是定义在复 数集上的一种特殊的复变函数类——解析函数。复变 函数的理论可分为单复变函数和多复变函数。单复变 函数理论亦称解析函数论。又因复变函数是数学分析中的一元实变函数的推广，亦称为复分析。

复变函数论萌芽于18世纪末欧拉 (L. Euler， 1707～1783)、达朗贝尔(J.L.R.D′Alembert，1717～ 1783)和拉普拉斯(P.S，de Laplace，1749～1827)的研 究工作。19世纪初德国数学家高斯(J.K.F.Gauss， 1777～1855)和法国数学家泊松(S.D.Poisson，1781～ 1840)提出了复变函数论的基本概念，后来，法国数 学家柯西(Cauchy)、德国数学家维尔斯特拉斯 (K.Weierstrass，1815～1897) 和黎曼(G.F.B.Riemann，1826～1866)共同创立了复变函数论。19世纪，这 门学科得到了飞跃发展而趋于成熟，并渗入到代数 学、解析函数论、微分方程、概率统计、计算数学和 拓扑学等数学分支，同时在热力学、流体力学和电学 等方面也得到广泛应用。

复变函数论主要研究内容包括：①解析函数的基 本理论研究；②黎曼面与共形映象的理论研究；③整函数与半纯函数的理论研究；④特殊函数论以及调和函数论等。复变函数论不仅为流体力学、电动力学、 弹性力学和传热理论等学科的发展和工程技术的发明与设计提供新的数学工具，同时对数学其他分支学科，特别是微分方程理论发展具有重要影响。

能局部展成幂级数的函数，它是复变函数论研究的主要对象。解析函数类包括了数学及其在自然科学和技术应用中所遇到的大多数函数，这类函数关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函数在其自然存在的域中代表唯一的一个函数，因此，对解析函数的研究具有特殊的重要性。

对解析函数的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函数理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函数理论的奠基者。1814年他定义正则函数为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函数的定义，只要求函数在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函数的研究。他定义正则函数为可以展开为幂级数的函数，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函数。柯西的方法限于研究完全解析函数的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。