全矩阵环(full matrix ring)是一类具体且重要的环。即由矩阵构成的一类有零因子的非交换环。环R上一切n阶矩阵的集合{[aij]n×n|aij∈R}对矩阵的加法和乘法构成的环，称为R上全矩阵环。也称它为R上n阶矩阵环，记为Rn或Mn(R)。

全矩阵环(full matrix ring)是一类具体且重要的环。即由矩阵构成的一类有零因子的非交换环。环R上一切n阶矩阵的集合{[aij]n×n|aij∈R}对矩阵的加法和乘法构成的环，称为R上全矩阵环。也称它为R上n阶矩阵环，记为Rn或Mn(R)。全矩阵环的子环称为矩阵环。域F上全矩阵环Fn是单环，且是F上矩阵代数，从而也是F上单代数。矩阵环在表示论中有重要意义，F上有限维代数常可用相应的矩阵代数来刻画。

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

一个环是一个集合R，其中有两个合成运算，叫作加法和乘法，对有序对a，b，a，b∈R，其结果分别用a+b和ab表示，这两个合成法则满足：(1)a+b及ab属于R(闭合)；(2)a + b=b + a(交换律)；(3) (a+b) + c=a+ (b + c)(结合律)；(4)在R中有一个元0叫零元，对R中任意a，适合a + 0 = 0 +a;(5)对R中任意元a，在R中有一个a的负元—a，适合a+ (—a)=0；(6)(ab)c= a(bc)；(7)a(b + c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca(分配律)，满足以上条件的代数系即叫环，环论研究的就是具有这些性质的代数系。环论概括了数学各分支中很多基本的特例，如它包括整数环、有理数环、实数环、复数环和各种不同的函数和矩阵环等。环是现代代数中重要概念，其理论和方法在数学许多分支中都有应用。

环论的主要研究内容：①交换环论；②具有链条件的环论；③一般环论。1945年雅各布森 (N.Jacobson) 创造了根基理论，建立了一般环构造 的基础理论。但是，质环自身的构造还不够清楚，甚至有穷环的构造也不清楚，在一般情况 下，理想子环除因子的顺序外能否唯一地分解成质理想子环的乘积的问题也没能彻底解决。近年来，环论的发展很快，大量成果不断涌现，是代数学中最 活跃的分支学科之一。

单环是与群论中单群类相对应的基本环类。一个环(代数)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单环或单纯环(弱单代数)。弱单环(弱单代数)可分两类：一类是R≠0，此类环(代数)称为单环(单代数)，它的幂零根为零;另一类是R=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身.域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。

表示论是数学中抽象代数的一支。旨在将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，藉以研究结构的性质。

略言之，表示论将一代数对象表作较具体的矩阵，并使得原结构中的操作对应到矩阵运算，如矩阵的合成、加法等等。此法可施于群、结合代数及李代数等多种代数结构；其中肇源最早，用途也最广的是群表示论。设 G 为群，其在域F （常取复数域 F =C）表示是一 F-矢量空间 V 及映至一般线性群之群同态。

假设 V 有限维，则上述同态即是将 G 的元素映成可逆矩阵，并使得群运算对应到矩阵乘法。

表示论的妙用在于能将抽象的代数问题转为线性代数的操作；若考虑无穷维希尔伯特空间上的表示，并要求一些连续性条件，此时表示论就牵涉到一些泛函分析的课题。

表示论在自然科学中也有应用。对称性的问题离不开群，而群的研究又有赖于其表示，最明显的例子便是李群及李代数表示论在量子力学中的关键角色。“表示”的概念后来也得到进一步的推广，例如范畴的表示。