共变导数_微分几何概念 - 线报百科mbji.cn

共变导数

微分几何概念

共变导数（covariant derivative）是1993年公布的数学名词。

定义

定义1

对光滑流形M上光滑向量丛E，令Γ(E)为E的光滑截面。则共变导数为线性映射∇:Γ(E)→Γ(T*M⨂E)，满足

∇(fσ)=df⨂σ+f∇σ，

其中f∈C∞(M)，σ∈Γ(E)。

定义2

设𝓗为ξ=π:E→M上的联络，且有联络映射κ。给定f:N→M，ξ沿f的截面X，u∈TN，则X对u的共变导数为∇uX:=κX*u∈E。

当N=M，f=1M，∇称为𝓗的共变导数算子。

性质

∇等价地可以视为∇:Γ(E)⨂Γ(TM)→Γ(E)，即有

∇Vσ:=∇σ(V)，V∈TxM。

∇对V保持张量性，对σ保持ℝ线性。

若u∈TpN，则∇uX∈Ef(p)。故对U∈𝖃N，∇UX为ξ沿f的截面，∇UX(p):=∇U(p)X。X为沿f平行，当且仅当对于∀U∈𝖃N，∇UX=0。

∇u(X+Y)=∇uX+∇uY。

∇au+vX=a∇uX+∇vX，a∈ℝ。

∇uhX=u(h)X(p)+h(p)∇uX，h∈𝓕N。

若g:L→N，w∈TL，则∇w(X∘g)=∇g*ωX。

公布时间

出处

《数学名词》第一版。

参考资料

共变导数.术语在线.

最新修订时间：2022-04-16 02:03

条目作者

概述

定义

性质

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