矩量母函数_统计学函数 - 线报百科mbji.cn

矩量母函数

统计学函数

在统计学中，矩又被称为动差(Moment)。矩量母函数(Moment Generating Function,简称mgf)又被称为动差生成函数。

定义

定义1（矩量母函数）设为随机变量，若存在某正实数，使得对于区间中任一实数t，数学期望均存在，则称

为随机变量或其分布的矩量母函数（moment generating function），简记为mgf.

另外，称矩量母函数的对数为累积量生成函数。

性质

以连续随机变量为例，离散型随机变量可做相同变换。

（1）由泰勒级数

有

即

其中，是随机变量的i阶中心矩。

（2）mξ(-t)是双侧拉普拉斯变换(Laplace Transform)。

（3）不管概率分布是不是连续，矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：

其中，F(x)是累积分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称CDF)。

应用

常见分布的mgf

对于随机变量，有如下结论：

（1）若，则的mgf为

（2）若，则的mgf为

（3）若服从参数为的指数分布，则的mgf为

求随机变量的矩

设随机变量的矩量母函数存在，则的各阶矩存在且可由矩量母函数表示。具体地，的k阶矩为矩量母函数在0点的k阶导数值，即对任意正整数k，有

特别地，有

证明：由泰勒级数

有

即其中，是随机变量的i阶中心矩。上式左右两边同时对t求n阶导，得到

故

即

证毕。