群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

单纯同调群是一个重要的拓扑不变量，它也是伦型不变量。复形K的链群、闭链群和边缘链群与多面体|K|的单纯剖分有关，因此它们不可能是拓扑不变量。然而闭链群关于边缘链群的商群Zq(K)/Bq(K)是与剖分无关的，称这个商群为K的q维单纯同调群，简称q维同调群，记为Hq(K)。

同调群是交换群。当q<0或q>dim K时，按照链群推广到所有整数维数的规定，有Hq(K)=0。

同调群的重要性在于Hq(K)是多面体|K|的伦型不变量，更是拓扑不变量。它有很多重要应用。

同调群中的元素是闭链群中的元素按边缘链群的陪集分解的等价类。精确地描述如下：设z和z′为两个q维闭链，若z-z′∈Bq(K)，则称它们是同调的，记为z～z′.若z为边缘链，即z为Bq(K)的元素，则称在K上z同调于0或称z是K上的零调链，记为在K上z～0.这种同调关系是Zq(K)上一个等价关系，按同调关系分成的等价类称为同调类，并且用[z]表示闭链z所属的同调类。

上同调群是一种重要的拓扑不变性质。可仿照线性空间的对偶空间的定义方式引入上同调群。若K是一个n维单纯复形，Cq(K)是q维整系数链群，则同态c：Cq(K)→Z(整数加群)称为K的一个q维上链.对于任意两个q维上链c和d，它们的和是这样的上链，它在任意xq∈Cq(K)上取值：

(c+d)(xq)=c(xq)+d(xq)，

所有q维上链在上述加法下成为一个交换群，它就是同态群Hom(Cq(K)，Z)，称为K的q维上链群，记为C(K).为区别起见可把原来的链群Cq(K)称为下链群.对于原来的边缘同态可用对偶同态来定义上边缘同态算子，设：

q+1： Cq+1(K)→Cq(K)，

定义δ：C(K)→C(K)，对于K的q维上链c，δc是一个q+1维上链，它在任意xq+1∈Cq+1(K)上取值为：

δc(xq+1)=c(q+1xq+1).

从而δ°δ=0(或写成δ°δ=0).由此可定义C(K)的子群：

Z(K)=ker δ　与　B(K)=Im δ，

分别称为q维上闭链群与上边缘链群。商群：

H(K)=Z(K)/B(K) (q∈Z)

称为复形K的q维上同调群，这些群中元素分别称为上闭链、上边缘链与上同调类。相应原来的同调群可称为下同调群。

设f：K→L是单纯映射，f={fq：Cq(K)→Cq(L)|q∈Z}是这单纯映射诱导的链映射，fq的对偶同态f：C(L)→C(K) (q∈Z)定义为，对于任意c∈C(L)，f(c)是K的q维上链，在K的q维链xq上取值(f(c))(xq)=c(fq(xq)).它满足δ°f=f°δ，称f为上链映射，因此f诱导出上同调群之间的同态：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意与f：K→L方向相反).同样地，可研究链同伦、连续映射用单纯逼近定理得到的诱导同态和类似于下同调群之间诱导同态的性质，所以上同调群也具有拓扑不变性、伦型不变性.设K是n维单纯复形，其上、下同调群H(K)与Hq(K)的秩分别记为R与Rq，它们的挠子群分别记为T(K)与Tq(K) (q∈Z)，则上、下同调群之间有关系：

其中T-1(K)理解为零群。这表明上同调群由下同调群完全决定。

同调群的一种弱化。设K是复形，z和z′为K的两个闭链，若存在非零整数m使得m(z-z′)同调于0，则称z和z′弱同调.同调的两个闭链一定是弱同调的。闭链群Zq(K)中同调于0的元素组成边缘链群Bq(K)，而弱同调于0的全体元素就是Bq(K)在Zq(K)中的除闭包B-q(K)，称为q维弱边缘链群。商群：

Zq(K)/B-q(K)

称为复形K的q维弱同调群，记为H-q(K)。根据群论知识，可知H-q(K)是一个有限维自由交换群。这为引入自由交换群自同态的迹数创造了条件。

交换群是指其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家阿贝尔在研究高次方程的根式求解时，除了五次方程以外，他讨论了更广一类的方程，现称之为阿贝尔方程。其全部根都是其中一个根的有理函数，设x1是n次阿贝尔方程的一个根，其全部根则为，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函数，并且对于任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。后人发现，阿贝尔方程是具有交换律的伽罗瓦群的方程。为了纪念阿贝尔，后人称交换群为阿贝尔群。

交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具。例如，拓扑学中的基本群、同调群，代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑学、模论、同调代数、环论等有着密切的联系。

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0与映射idx同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)idx≃0，即恒同映射idx零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。