设0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一单调非负随机变量列。那么，若Xn(处处)收敛于随机变量X，则相应的数学期望列EX1，EX2，…，EXn，…收敛于X的数学期望EX，这种现象称为单调收敛定理。

如果ak是一个单调的实数序列（例如ak≤ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。这个极限是有限的，当且仅当序列是有界的。

我们证明如果递增序列{an}有上界，则它是收敛的，且它的极限为 。

由于{an}非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，c= 存在，且是有限的。对于每一个 ，都存在一个aN，使得aN>c- ，否则c- 是{an}的一个上界，这与c为最小上界 的事实矛盾。于是，由于{an}是递增的，对于所有的n > N，都有 ，因此根据定义，{an}的极限为 。证毕。

类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。

如果对于所有的自然数j和k，aj,k都是非负实数，且aj,k≤aj+1,k，则

这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

设( X,，A， )为一个测度空间。设f1，f2......为 -可测的[0, ]值单调递增函数。也就是说： 。接着，设序列的逐点极限为f。也就是说： ，那么，f是 -可测的，且： 。

我们首先证明f是 -可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为[0， )的一个子区间。那么： ，另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此： 等价于 ，所以： 。注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在 -可测函数 下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是 -可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。

我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是 -可测的事实，意味着表达式 是定义良好的。

我们从证明 开始。

根据勒贝格积分的定义，其中SF是X上的-可测简单函数的交集。由于在每一个，都有，我们便有：包含于，因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有：，右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明：从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递增序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且：

只需证明对于每一个，都有：

，这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果gk是简单函数，且几乎处处，则：

由于积分是线性的，我们可以把函数分拆成它的常数部分，化为是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。为了证明这个结果，固定，并定义可测集合的序列：根据积分的单调性，可以推出对于任何的，都有根据的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于内，因此：，所以，我们有：利用测度的单调性，可得，取，并利用这对任何正数都正确的事实，定理便得证。