法图引理_数学概念 - 线报百科mbji.cn

法图引理

数学概念

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

定理定义

设为一个测度空间，是一个实值的可测正值函数列。那么：

其中函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数取值和积分可以是无穷大。

验证推导

定理证明基于单调收敛定理。设为函数列的下极限。对每一个正整数 k ，要逐点定义下极限函数：

所以是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于。

任意k ≤ n，有gk ≤ fn，因此

据此，由单调收敛定理以及下极限定义，就有：

反向法图引理

令为测度空间中的一列的可测函数，函数的值域为扩展的实数轴（包括无穷大）。如果存在一个在S上可积的正值函数g ，使得对所有的n都有，那么。

这里g只需弱可积、即。

证明：对函数列应用法图引理即可以。

定理推广

任意实值函数

法图引理不仅对取正值函数列成立，在一定的限制条件下，可以扩展到任意实值函数。令为测度空间中的一列可测函数，函数的值域为扩展的实数轴（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有，那么

证明：对函数列应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数，那么。

证明：是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在S上依测度收敛到，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在的一个子列使得。

这个子列仍然依测度收敛到，于是又存在这个子列的一个子列在S 上μ-几乎处处逐点收敛到，于是命题成立。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 16:15

条目作者

概述

定理定义

验证推导

反向法图引理

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