函数的
连续性、
可导性、可微性是
高等数学中的重点和难点内容。一元函数可微与存在导数是等价的。而对于多元函数，偏导数即使都存在，该函数也不一定可微。
一元函数可微性
定义1
设函数 定义在点 的某邻域 上，当给 一个增量 ， 时，相应地得到函数的增量为
如果存在常数A，使得 能表示成
则称函数f在点
可微，并称（1）式中的第一项 为f在点 的
微分，记作
由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于 的高阶无穷小量，由于 是 的线性函数，所以当 时，也说微分 是增量 的
线性主部。
容易看出，函数f在点 可导和可微是等价的。
定理1（可微的充要条件）
函数f在点 可微的充要条件是函数f在点 可导，而且（1）式中的A等于 。
二元函数可微性
定义2
设函数 在点 的某
邻域 上有定义，对于 中的点 ，若函数f在点 处的全增量 可表示为
其中A,B是仅与点 有关的常数， ， 是较 高阶的无穷小量，则称函数f在点 可微。并称（2）式中关于 的线性函数 为函数 f在点 的全微分，记作
由（2）（3）可见 是 的线性主部，特别当 充分小时，全微分 可作为全增量 的近似值，即
定理2（可微的必要条件）
若二元函数f在其定义域内一点 可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且（2）式中的
因此，函数f在点 的全微分（3）可惟一地表示为
若函数f在区域D上的每一点 都可微，则称函数f在区域D上可微，且在D上全微分为
我们知道，一元函数可微与存在导数是等价的。而对于多元函数，偏导数即使都存在，该函数也不一定可微。那么不禁要问：当所有偏导数都存在时，还需要添加哪些条件，才能保证函数可微呢？
定理3（可微的充分条件）
若函数 的偏导数在点 的某
邻域上存在，且 与 在点 连续，则函数f在点 可微。
注意 偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数
在原点 可微，但 与 却在点 不连续。若 在点 的偏导数 连续，则称f在点
连续可微。
多元函数的可微性
类似地可定义n元函数 在点 可微的概念。
定义3
设函数 在点 的某领域 上有定义，任给 的改变量 ，使 ，其中 。若函数 在点 的全改变量
可表示为
其中 是仅与点 有关，而与 无关的常数，则称函数 在点 可微，并称 为函数 在点 的全微分，表示为 ，即
定理4（可微的充要条件）
其中，，，是仅与有关，而与无关的常数。