又∵m|(r1-r2)
即r1-r2=0
∴r1=r2.
性质
2.
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a c≡b d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
证明：
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
6.
线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
证明：
(1)∵a≡b(mod m),
∴m|(a-b)
同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)]
∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d)
∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
7.
除法：若 ，则 ，其中gcd(c,m)表示c和m的
最大公约数，
特殊地， 则 ；
9.若 ，n=m，则 ；
10.若 ，(i=1,2...n) 则 ，其中 表示m1,m2,...mn的
最小公倍数。
相关定理
1.
欧拉定理：设a,m∈N，(a,m)=1，则 ，
(注：φ(m)指模m的
简系个数， φ(m)=m-1，如果m是素数；
2.
费马小定理: 若p为
质数，则 即 （但是当p|a时不
等价）。
设整数 两两
互素，令 （mi的连乘）。则对于任意的j在(1,n)整数，下列联立的
同余式有解：
令x为从1到n，ajxj的和，则x适合下列联立同余式，
另：求自然数a的
个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余。
一次
同余式和
孙子定理同余式的求解中，一次同余式是最基本的。设整系数n次(n>0)多项式 ，(1)m是一个
正整数且不能整除αn，则 叫做模m的n次
同余式。如果整数α是(1)的解且 ，那么α也是(1)的解，因此(1)的不同解是指满足(1)的模 m互不同余的数。对于一次同余式 有解的
充分必要条件是(α,m)│b)，若有解则有(α,m)个解。一次
同余式组是指 。 (2)
在中国古代《
孙子算经》中，对某些具体的一次
同余式组已有解法，把这一解法加以推广，就是著名的孙子剩余定理：设m1, m2,…, mk是k个两两互素的
正整数 ，则
同余式组(2)的解是。式中，
孙子剩余定理又被称之为中国剩余定理，是数论中一个重要的定理，除了数论本身，数学的许多其他分支以及一些应用学科都要用到它。例如,设 两两互素，利用孙子剩余定理可将同余式(1)的求解问题化为同余式组 的求解问题，于是就只需要研究(1)中m是素数方幂的情形了。又如,可将0≤x 两两互素，而x表示x模mi的最小非负剩余。
如果已知x的模系数
记数法，就可用孙子定理找出x。这个记数法的优点是加法和
乘法无须进位，它在计算机方面有应用。
素数为模的
同余式关于素数为模的同余式，1770年，J.-L.
拉格朗日证明了如下定理：设p是素数，那么模 p的n次同余式的解数不大于 n（重解也计算在内）。人们称之为
拉格朗日定理。由此立即可以得威尔森定理：如果 p是素数，那么(p-1)!+1≡0(mod p)。因为x-1≡0(mod p)有p-1个解1,…,p-1，故由
拉格朗日定理可得
将x=0代入上式得-1≡(-1)(p-1)!(mod p),这就证明了威尔森定理。威尔森定理的
逆定理也是成立的，可用
反证法简单证出。用
拉格朗日定理还可证明：当p≥5是一个素数时,则有同余。这个定理是1862年，由J.沃斯顿霍姆证明的。
设 是n元整系数多项式,p是一个
奇素数，对于同余式 的解 的个数N的研究，是数论的重要课题之一。
早在1801年，C.F.高斯就研究了同余式 的解的个数，这里 和同余式 的解的个数，这里 。
设ƒ(x)模 p无重因式，1924年，E.阿廷猜想同余式 ，在ƒ(x)的次数为3和4时，N分别满，1936年，H.哈塞证明了这一猜想，并且还证明了对于一般含q个元的有限域，把以上两式中p换成q，也是对的。1948年，韦伊对于一般的ƒ(x,y)=0在
有限域上得到类似的结果，他猜想对于 也有类似的结果。1973年，P.德利涅证明了韦伊猜想。他的杰出工作获得了1978年的国际数学家会议的费尔兹奖。