拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：
微积分中的
拉格朗日中值定理；
数论中的
四平方和定理；
群论中的拉格朗日定理 (群论)。
四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是
费马多边形数定理和
华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
1） 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的
恒等式：。根据上述
欧拉恒等式或
四元数的概念可知如果正整数 和 能表示为4个整数的平方和，则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个
素数可以表示成4个整数的平方和即可。
2）1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意
奇素数 ，
同余方程 必有一组整数解 满足 ， （引理一）。
定理的证明是运用 在 中的左陪集。 在 中的每个左陪集都是一个
等价类。将 作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于 的元素个数（ 是 关于 的左陪集），因此 的阶（元素个数）整除 的阶，商是 在 中的左陪集个数，叫做 对 的指数，记作 。
由拉格朗日定理可立即得到：由有限群 中一个元素 的阶数整除群 的阶（考虑由 生成的
循环群）。
拉格朗日定理的
逆命题并不成立。给定一个有限群 和一个整除 的阶的整数 ， 并不一定有阶数为 的子群。最简单的例子是4次交替群 ，它的阶是12，但对于12的因数6， 没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。