四平方和定理 （英语：Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。

1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：

根据上述恒等式或四元数的概念可知如果正整数 和 能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数，同余方程 必有一组整数解 满足 (引理一)

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。

因 ，故只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。