四元数，是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i2= -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j和k 组成，而且它们有如下的关系： i2 = j2 = k2 = -1， iº = jº = kº = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。

四元数（Quaternions），是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念，直到1985年才由Shoemake把四元数引入到计算机图形学中。四元数的乘法不符合交换律（commutative law）。

明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。

四元数是除环（除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有逆元素。

四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。

详见参考资料《关于四元数的几何意义和物理应用》

四元数就是形如 的数，是实数。

，称为四元数的二范数。

假设：

那么：

像在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为，是一个角度为的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

1.非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）

2.比矩阵更紧凑（更快速）

3.单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

4.所有单位四元数的集合组成一个三维球和在乘法下的一个群（一个李群）。是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群和同构，是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令为形为的四元数的集合，其中或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合是一个环，并且是一个格。该环中存在 24 个四元数，而它们是施莱夫利符号为的正二十四胞体的顶点。

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。若则它的复数形式为：

这种表示法有如下优点：

所有复数就相应于一个实矩阵。

四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。

四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。

对于单位四元数而言，这种表示方式给了四维球体和之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）

第二种则是以四阶实数矩阵表示：

其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

1843年，哈密顿在爱尔兰发现四元数。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到 的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）。

不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量和向量的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。

哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。

四元数的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）的向量代数学和约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的向量微积分的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和柯利弗德代数学）。而事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合，另一形式两个创建量（constructor）与双向量（bivector；i、j与k）的结合。

定义两个四元数：

其中 表示矢量 ；而 表示矢量 。

跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼（Hermann Grassmann）称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是︰

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是：

点积也叫做欧几里德内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

点积可以用格拉斯曼积的形式表示：

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

欧几里德外积并不常用； 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性，它们总是一同被提及：

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：

四元数的转置通过 被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数（complex inverse）之构造：

一个四元数的自身点积是个纯量。四元数除以一个纯量等效于乘上此纯量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数的不可换性导致了 和 的不同。这意味着除非p是一个标量，否则不能使用q/p这一符号。

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

幅角函数可找出一4-向量四元数偏离单位纯量（即：1）之角度。此函数输出一个纯量角度。