某一类非线性色散方程所具有的一种粒子结构性态的解，称为孤立子。它能经历交互作用而保持其形状、速度不变。

20世纪 60～70 年代 ，通过计算机计算和关于浅水波的实验观测，表明孤立波碰撞后仍保持各自原来的形状和速度，犹如粒子，因而称为孤立子，随着研究的深入 ，发现除KdV方程外，还有一系列在应用中十分重要的非线性演化方程 ，孤立子解反映了自然界的一种相当普遍的非线性现象；并发展了一套求解这类非线性微分方程的强有力的解法，因而受到广泛的重视。孤立子被应用于粒子物理、固体物理以及各种非线性物理问题中，取得不少成功，也还存在不少困难 。

1834年秋，英国科学家、造船工程师罗素在运河河道上看到了由两匹骏马拉着的一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，它积聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个滚园、光滑而又轮廓分明的大水包，高度约为0.3～0.5米，长约10米，以每小时约13公里的速度沿着河面向前滚动。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到3～4公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力，则不会衰减并消失)。并且由于它具有圆润、光滑的波形，所以它也不是激波。

罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。罗素认为孤立波应是流体力学的一个解，并试图找到这种解，但没有成功。

十年后（1845年）罗素向英国科学促进会报告了自己的观点，但却没能说服他的同事们，罗素所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。50年以后即1895年，两位数学家科特维格与得佛里斯从数学上导出了有名的浅水波KdV方程，并给出了一个类似于罗素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承认。

在罗素逝世100周年即1982年,人们在罗素发现孤立波的运河河边树起了一座罗素像纪念碑，以纪念148年前他的这一不寻常的发现。

1834年，英国J.S.罗素在运河勘探时首先发现了孤立波，即圆而光滑、孤零零移动的凸出水峰。1895年，柯脱维格和德佛累斯在研究单方向运动的浅水波时建立了著名的Rdu方程，这是一个非线性偏微分方程，它的一个特解的函数图象犹如一个向右运动的脉冲，在现象上正是罗索发现的孤立波。长期来，人们认为与一般非线性波一样，两个孤立波的“碰撞”将破坏波形，孤立波解是没有价值的不稳定解。但1965年美国克鲁斯卡尔和扎布斯基得出Rdu方程的电算结果，发现两个孤立波碰撞后能保持彼此的波形和速度。在这之后，孤立子数学理论迅速发展，其中散射反演方程已发展成为求解非线性偏微分方程的新方法;方程守恒律的研究为探讨怎样的方程具有孤立子解提供了依据;孤立子还使原本属于微分几何的贝克隆变换日趋活跃。

孤立子在非线性波理论、基本粒子理论等领域有着广泛而重要的作用。它的发现是计算导致重大科学发现的一个例证。它表明，计算作为现代科学方法的三大环节(理论、实验、计算)之一，已经并将进一步在当代基础理论、应用技术等许多方面发挥重要作用。

现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性方程，如正弦-戈登方程(SG方程)uxt=sin u，非线性薛定谔方程等都具有这种孤立子解。还发现在等离子体光纤通讯中也有孤立子现象，科学家们还认为，神经细胞轴突上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看做是孤立子。

条件

孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。

孤子

起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子，有时又简称为孤子。

稳定性和粒子性

孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣。人们还发展了一套研究孤立子的系统方法—反散射方法或逆问题方法。找出了一批非线性方程的普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量差，而且须在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，70年代从理论上首先发现“光学孤子”可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这一成果已进入实用阶段。

粒子表现

对孤立子的更深入研究发现，孤立子不仅像原子或分子，而且更像基本粒子，这表现在：

1．孤立子不仅具有质量、能量和动量特征，而且还具有电荷特征。

2．孤立子有的像光子、电子、质子那样，稳定而不衰变，有的像中子、πo介子、μ子那样可以衰变，具有衰变性不稳定性。

3．和基本粒子都存在其反粒子一样，孤立子也都存在其相应的反孤立子。

4．对应于运动方程的种种对称性，孤立子也存在相应的守恒定律，如动量守恒、能量守恒和“粒子数”守恒等等。

波粒二象性

孤立子原本是波，但却具有粒子的特性，而物质粒子原本是粒子，但却具有波的特性。两者原本风马牛不相及，但却具有共同的属性—“波粒二象性”。人们曾确信，孤立子和物质粒子之间一定存在某种必然联系，并预料孤立子必将在基本粒子研究中起到独特的作用。但是，由于孤立子解只存在于非线性微分方程中，而非线性微分方程没有一般解法,孤立子解很难找到,尤其对于多维孤立子的研究目前还只是刚刚起步，并且对多维孤立子的研究更加困难，人们对基本粒子的了解远多于孤立子，因而，借用孤立子理论还难以对基本粒子作出完备的描述。

特例

但是情况也有例外，人们对于速度低于光速的物质粒子了解甚多，而对速度超过光速的物质粒子—快子却知之甚少。人们通过对狭义相对论的进一步研究发现，速度原本就超过光速的快子的存在并不违背狭义相对论，但到目前人们对快子的特性并不清楚，也不知道为什么不能发现快子。而孤立子理论却得到了快子解，在“虚子论”中，我们将借助这种快子解，分析研究快子的基本特性，并说明它们为什么不能被发现。我们还将进一步证明，快子在地球上是普遍存在的，并在人体生命现象中起着极其重要的作用。