对数积分_特殊函数 - 线报百科mbji.cn

对数积分

特殊函数

对数积分li(x)是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。

积分表示法

对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数都有定义：

在这里，ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t= 1处有一个奇点，当x> 1时，这个积分只能用柯西主值的概念来解释：

欧拉对数积分

由于这个积分在x趋近于0时，值会趋近于负无穷大，有些数学家为了避免麻烦，常会选择另外一个相似的定义，欧拉对数积分定义为：

或

函数li(x)有一个正根，它出现在x≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

其中是不完全伽玛函数。

级数表示法

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

其中x>1。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法：

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数，是：

渐近展开式

当x→ ∞，函数有以下的渐进表现：

其中是大O符号。完整的渐近展开式为：

或

注意，作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中重要性

对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，素数定理表明：

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

不定积分

由定义得对数积分函数的导数即对数函数，

同时，其不定积分可表示为，Ei(x)为前文有所提及的指数积分函数。

参考资料

最新修订时间：2024-07-12 08:17

条目作者

概述

积分表示法

欧拉对数积分

级数表示法

参考资料