局部环
交换幺环
在数学中,局部环是只有一个极大理想的交换幺环。
定义
设为交换幺环。若仅有一个极大理想,则称(或)为局部环。域称为的剩余域
若中仅有有限个极大理想,则称之为半局部环。
一个局部环上带有一个自然的-进拓扑,使得成为拓扑环;其开集由生成。当 为诺特环时,可证明为豪斯多夫空间,且所有理想皆是闭理想。
设为局部环,环同态被称为局部同态,当且仅当。
性质
除了交换幺环R本身以外,R的所有理想均包含于其唯一的极大理想。
例子
1.是局部环。
2.设K[x]为域上多项式环,则K[x]/(x2)为局部环。
3.域上形式幂级数环是局部环,其中是个域。极大理想是。
取系数在或上,原点附近收敛半径为正的幂级数,它构成一个局部环,极大理想表法同上。
赋值环皆为局部环。
设为交换幺环,为其素理想,为乘性子集,则相应的局部化是局部环;这也是局部环应用的主要场合。若已是局部环,则。
局部环的商环仍是局部环。
应用
簇的局部环
设V为不可约仿射簇,则V在点P的局部环为
其极大理想为
动机与几何诠释
局部环意在描述一个点附近的函数芽。设为拓扑空间,或,且。考虑所有资料,其中是的一个开邻域,而是连续函数。引入等价关系:
且是的开邻域。
换言之,若两个函数在附近一致,则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环,其元素称作在的连续函数芽,它体现了连续函数在附近的行为。若满足,则存在一个的开邻域及连续函数,使得且恒非零,因此可定义乘法逆元。于是是局部环,其唯一的极大理想是所有在点取零的函数,剩余域则是。
类似想法可施于微分流形解析流形复流形,稍作修改后亦可推广至代数簇概形
在代数几何与复几何中,假设适当的有限性条件(例如凝聚性), 若一陈述对某一点的芽成立,则在该点的某个开邻域上皆成立;就此而论,局部环集中表现了一点附近的局部性质。
在交换代数中,局部化的技术往往可将问题化约到局部环上;因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。
非交换的情形
一个含么环被称作局部环,当且仅当它满足下述等价条件:
R 仅有一个极大左理想。
R 仅有一个极大右理想。
,且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
,且对任何元素或必有一者可逆。
,若中某个有限和是可逆元,则其中某项必可逆。
当上述任一性质成立,则下述三者等同:
对于交换环,上述定义化为交换局部环的原始定义。
参考资料
最新修订时间:2023-01-08 17:02
目录
概述
定义
性质
例子
参考资料