幺半范畴_范畴论的概念 - 线报百科mbji.cn

幺半范畴

范畴论的概念

幺半范畴，直觉地讲，是个配上张量积的阿贝尔范畴，可当作环的范畴化。

简介

范畴论中，一个幺半范畴是一个包含单一个对象的双范畴。

定义

张量范畴是配有双函子⊗:M×M→M（张量积双函子）的范畴M ，且被赋予一个对象e（单位对象），与三组自然同构：结合同构α满足α:a(bc)≅(ab)c，左单位同构λ:ea≅a与右单位同构ρ:ae≅a，并有如下交换图表性质：

（五边形公理）a(b(cd))→(ab)(cd)→((ab)c)→(a(bc))d=a(b(cd))→a((bc)d)→(a(bc))d，即α1∘α∘α=α∘1α。

（三角形公理）a(ec)→(ae)c→ac=a(ec)→ac，即ρ1∘α=1λ。

严格幺半范畴

严格幺半范畴是个幺半范畴，其自然态射和都是恒等映射。

取任一范畴 , 我们可构筑其自由严格幺半范畴：

（1）对象：其每一对象是一串由里面的对象组成之有限序列；

（2）态射：当且仅当n=m时，我们在两个对象之间定义态射：

每态射是一串由态射组成的有限序列；

（3）张量积：两个-对象及之张量积，我们定义为这两个有限序列之串接；同样地任何两个-态射的张量积，我们定义为其串接。

例子

取任一范畴，若以其平常范畴积作张量积，以其终对象作单位对象，则成为一个张量范畴。

亦可取任一范畴，以其余积作张量积，以其始对象作单位对象，亦成一个张量范畴。这此两例实为对称幺半范畴结构。但亦有许多张量范畴，其张量积既非范畴积亦非范畴余积。

集范畴Sets为幺半范畴，其张量积为笛卡儿积，单位对象为单元集

加性范畴为幺半范畴，张量积为直和函子⊕，单位对象为零对象。