庞加莱对偶_数学名词 - 线报百科mbji.cn

庞加莱对偶

数学名词

庞加莱对偶是1993年公布的数学名词。

定义

设M为光滑定向闭流形或n维R定向紧流形，对所有i与R模π，均有自然庞加莱同构

D:Hp(M;π)→Hn-p(M;π)

特别地庞加莱对偶定理蕴含着一个非退化双线性映射

Hi(M)×Hn-i(M)→ℤ

称为庞加莱对偶。

性质

同构可定义为D(α)=α⋂z，其中z为R基本同调类。

若π=R，<α⋃β,z>=<β,α⋂z>=<β,D(α)>，即D与⋂对偶。

设Tp⊂Hp(M)为其挠子群，若α∈Hp(M)投射到自由阿贝尔群Hp(M)/Tp，则存在a∈Hp(M)，满足<α,a>=1。由庞加莱对偶，存在β∈Hn-p(M)满足β⋂z=a，则<β⋃α,z>=<α,β⋂z>=1

例子

设M为n维ℤ定向紧连通流形，D:Hp(M)→Hn-p(M)。当p=0，有Hn(M)≅ℤ，其生成元为基本同调类z，当p=n，Hn(M)≅ℤ，其生成元ξ与z对偶，即<ξ,z>=1。

公布时间

1993年，经全国科学技术名词审定委员会审定发布。

出处

《数学名词》第一版。

参考资料

最新修订时间：2022-04-06 08:32

条目作者

概述

定义

性质

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