设q是邻域B(p,r)中的任意一点，d是p和q之间的距离，那么0≤d
0。设h=r-d>0，于是可以取邻域B(q,h)，在这个邻域上的任意一点s与q之间的距离|q-s|三角不等式，即s∈B(p,r)。
因为s是邻域B(q,h)中的任意一点，既然B(q,h)的任意一点都属于B(p,r)，可知B(q,h)⊆B(p,r)，所以q是内点。根据q的任意性可知B(p,r)上所有点都是内点，因此B(p,r)是开集。
在一维空间（即数轴上），邻域就是开区间，所以开区间是开集。
证明需要根据闭集的其他定义进行，这里省略。
从这条性质可以知道，因为空集是开集，所以它的补集X是闭集。因为X是开集，所以它的补集∅是闭集。即空集和X既是开集又是闭集。
（3）任意多个开集之并为开集。
设 是一组开集，其中a可以是有限个也可以是无限个。又设它们的并集 ，那么对于E中的任意一点x，它至少属于某个Ea。因为Ea是开集，所以x是Ea的内点，从而存在δ>0，使得B(x,δ)⊆Ea⊆E，即x是E的内点。根据x的任意性可知E中任意一点都是内点，因此E是开集。
（4）有限多个开集之交为开集。
设 是一组开集，i是有限的自然数。又设它们的交集 ，若E空，则E是开集，命题得证。若E非空，那么对于E中任意一点x，它是这n个开集的公共点，所以存在δi，i=1,2,3,…n，使得每个邻域B(x,δi)⊆Ei。取δ=min{δi}，那么邻域B(x,δ)将包含于每个Ei中，即B(x,δ)⊆E，因此x是内点。根据x的任意性可知E中任意一点都是内点，因此E是开集。
要注意的是无限个开集的交不一定是开集，如在数轴上取开区间(-1/n,1/n)，当n→∞时，这无数个开区间的交集为{0}，而只有一个点的集合一定是闭集。
（5）A的内点所构成的集合（称为A的内部，用符号A°或int(A)来表示）是包含在A中的最大开集，换言之，A的内部是开的，而且对于任意一个开集E⊆A，都有E⊆A°。
根据A°的定义很快知道A°是开集，现证明A°是A中的最大开集。
假设存在某个开集E⊆A，它比A°大，那么必然有一些点x满足x∈E但x∉A°。且因为E是开集，x是E的内点。而根据性质（3），因为A=E∪A，x也是A的内点，所以x∈A°，矛盾。
设X是一个全集，E和F是X的子集。所谓集合E与F的差集，指的是X中所有满足x∈E而x∉F的点x构成的集合。
设F在X中的补集为Fc，如果x∉F，那么x∈Fc，所以E-F=E∩Fc。若E是开集，F是闭集，根据性质（2），Fc是开集。再根据性质（4），E∩Fc=E-F是开集。
注意，开集与开集的差集可能是开集，也可能是闭集，还可能是非开非闭集。如：
直线上的开区间(0,1)与开区间(2,3)都是开集，它们的差集为(0,1)仍是开集。
直线上的开区间(0,100)与(0,1)∪(99,100)都是开集，它们的差集为[1,99]是闭集。
直线上的开区间(0,100)与(0,99)都是开集，它们的差集为[99,100)是非开非闭集。
几种重要的平面点集
1) 开集： 若点集 的点都是 的内点，则称 为开集．例如 是开集．
2) 闭集： 若点集 的余集 为开集，则称 为闭集．例如 是闭集．应当指出的是： 既非开集亦非闭集．
3) 连通集： 若点集E内的任意两个点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称 为连通集．
4) 区域(或开区域)： 连通的开集称为区域或开区域．
5) 闭区域： 开区域连同它的边界一起所构成的集合叫闭区域．例如 是区域，而 是闭区域．
6) 有界集： 对于平面点集 ，若存在一个正数 使 ,其中O是坐标原点，则称 为有界集．
7)无界集： 一个集合 若不是有界集，则称 为无界集．例如 为有界闭区域， 为无界闭区域； 为无界开区域．
注：应该注意到闭区域虽然包含有边界，但它也有可能是无界的；开区域是不含有边界的，但它也可能为有界域．
应用——开集人脸识别
针对传统ASM对面部轮廓点定位不够理想的问题,本文提出了一种局部轮廓约束的主动形状模型(Local Profile Constraint ASM)。该模型对传统ASM有两个方面的改进:其一,将候选点的轮廓强度作为自调节权重加入ASM的局部纹理匹配函数,使最佳匹配点更易被吸引到面部轮廓上。其二,引入全变分模型(TVM)作为图像实施标定前的预处理,在保留足够用于标定的纹理信息前提下,增强轮廓点与其一维邻域点的轮廓强度对比。在BioID人脸库上的大规模测试结果表明,该方法有效地提高了轮廓点的定位精度,为后续的特征比对打下良好的配准基础。 3.研究了特征比对中的开集识别问题,提出基于Adaboost的开集
人脸识别算法。 人脸图像识别系统中,特征比对算法直接影响到识别系统性能,是识别算法最核心的问题。本文针对特征比对算法中的开集问题,即有拒识的识别问题,提出一种新颖的解决方案。利用样本的几何变换,减小正负样本相似度之间的重叠区域,扩大正负样本集间距离,进而对一般的基于Adaboost的闭集人脸识别方法作出改进。同时,使用两层识别结构和样本变换预处理策略,提高识别速度。
提出了一种对相似度空间进行寻优的新方法,以提高开集人脸识别的准确率.该方法首先将开集识别问题转化为二分类问题,然后引入寻优方法寻找分割相似度空间的最优超平面,该超平面能够将相似度空间分割为接受空间和拒绝空间两部分.在判别过程中,利用相似度向量在空间中的位置判断样本是否为已知类.由于利用了相似度空间中向量分布的信息,训练出的特征具有更强的分类能力.通过不同人脸库的实验表明,相对于传统的方法,本文所提的方法能显著地提高开集识别的准确率.