归纳极限(inductive limit)是一种通过一族拓扑线性空间构造出的新的拓扑线性空间。拓扑线性空间是一类具有拓扑结构的线性空间。如果实数域或复数域K上的线性空间E同时是有拓扑τ的拓扑空间，并且线性空间的基本运算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分别作为E×E和K×E到E中的映射按τ是连续的，则称E为(实或复)拓扑线性空间或拓扑向量空间。

设C与J为范畴（J称为指标范畴），Δ:C→CJ为对角函子。F为函子范畴CJ中的函子。则从F到Δ的泛态射称为F的归纳极限。

其中自然变换μ:F→ΔColimF称为极限锥。

若J为离散范畴{1,2}，此时归纳极限为余积。

若J=·⇒·，此时归纳极限为余等化子。若J中其中一个态射为零态射，则此时归纳极限为余核。

若J=·←·→·，此时归纳极限为推出。

设C=Set，J=ω={0→1→2→3→...}，F:ω→Set将ω中态射打到包含映射，故F为集合序列F0⊆F1⊆F2⊆...。则所有Fn的并U为ColimF，其极限锥为包含映射Fn→U。

若J为小范畴，则任何函子F:J→Set均有归纳极限。

归纳极限(inductive limit)是一种通过一族拓扑线性空间构造出的新的拓扑线性空间。设{Xα|α∈A}是一族拓扑线性空间(不必要求是局部凸的)，Y是一个固定的线性空间，对每个α∈A，有线性映射uα：Xα→Y满足条件：

的线性扩张等于整个Y，即对任何y∈Y，存在α1，α2，…，αn∈A及xi∈Xαi和数ci使得：

记T是Y中使得诸uα都连续的最强局部凸拓扑，则拓扑线性空间(Y，T)称为{Xα}的归纳极限。

一类具有拓扑结构的线性空间。如果实数域或复数域K上的线性空间E同时是有拓扑τ的拓扑空间，并且线性空间的基本运算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分别作为E×E和K×E到E中的映射按τ是连续的，则称E为(实或复)拓扑线性空间或拓扑向量空间。而τ称为E的线性拓扑或向量拓扑，零元的均衡的邻域全体组成零元的邻域基。满足T1分离公理的拓扑线性空间是完全正则的。

拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，其基本概念建立于20世纪30年代，而今已经发展成为一门完整的学科，在纯粹数学和应用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛应用。

泛函分析的重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。

20世纪初，法国数学家弗雷歇在引入距离空间，并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道[a，b]上一列函数的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来，泛函分析中大量应用弱收敛、弱拓扑，它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联系在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用，法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后，经过十多年的努力，这一分支终于形成，它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的应用，而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

局部凸空间是最重要的一类拓扑线性空间。设E是拓扑线性空间，如果E中存在由均衡凸集组成的零元的邻域基，就称E是局部凸的拓扑线性空间，简称局部凸空间，而E的拓扑称为局部凸拓扑。零元的每个均衡凸邻域V的闵科夫斯基泛函pV(x)是E上的连续半范数.反之，设{pλ|λ∈Λ}是E上一族半范数，E上使pλ(λ∈Λ)均为连续的最弱拓扑是局部凸的，且零元的均衡凸邻域基由下面形式的集组成：

这个局部凸拓扑称为由半范数族{pλ}确定的局部凸拓扑。如果对任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，则{pλ|λ∈Λ}确定的局部凸拓扑是豪斯多夫拓扑。通常局部凸空间都指豪斯多夫局部凸空间。E中的定向半序点列{xα}收敛于x∈E等价于对每个λ∈Λ，pλ(xα-x)→0。设E1是由另一半范数族{qβ}确定的局部凸空间，则使线性映射T：E→E1连续的充分必要条件是，对任意的qβ，总存在有限个λ1，λ2，…，λn∈Λ和常数c，使不等式：

对一切x∈E成立。

局部凸空间的完备化空间也是局部凸的。根据哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空间上存在足够多的非零连续线性泛函。正因为如此，局部凸空间理论成为拓扑线性空间理论中最重要的部分。

关于局部凸空间理论的发展大约是始于迪厄多内(Dieudonné，J.)和施瓦兹(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一个主要推动力是分布理论，即广义函数理论。

亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V；

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V；

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元；

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α；

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V)；

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)；

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα；

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间。V中向量就是m×n矩阵。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。