归除又叫开除，是一种古老的珠算方法，起始于宋代,与旧管,新收,实在统称为四柱清册.是属于不隔位除法。

归是算除法中的专用名词,我国古代珠算归除法中把一位除法称单归。《算法统宗》卷一：“九除法者单位者归”“归者呼九归之歌”即指此,两位和多位除法称归除。归的本意是还原,即在被除数上加上一个数,有归还之意。“归”用加法,而“除”用减法,合之为归除法。

1.算术四则运算之一除法也。明程大位《算法统宗》卷一“乘除用字释”中称“除之者，谓九归归除商除之类”当又指珠算除法中归除法(单归、归除)和商除法。

2中算又作减法解,《算法统宗》卷“用字凡例”称:“除,减少也”,“九归归除法”条中称:除者，呼九字相生之数，次第除之，降积，谓之除”珠算归除法中,用九归诀或撞归诀求得试商后,将其与除数次位及其后诸位数相乘之积，从被除数或余数中减去，称为除,即减积。又珠算定身除法,亦称减除法或“减法”《算法统宗》卷一”减法者，即曰定身除法约存原本之数，而除之故谓之减”即合此意。

1.置数:

把被除数和除数分别置放在算盘中部和右端,除数位数较少时亦可默记不置;

2.定位:

用盘上移档法或商的公式定位法确定商数的数位；

3.计算:

除数和被除数均由最高位数起自左向右依次运算,计算分“归”和“除”两个步骤。“归“是用除数最高位数除被除数最高位数，根据估商情况，把除数、被除数、商数和余数归纳成一句口诀,运算时以口诀指导拨珠，求出试商，若试商偏大或偏小，还需调商(补商或退商)；“除”是从被除数中减去试商与除数次位及以下各位数字相乘之积一位除法，只用归法(即单归)，多位除法，每求一位商，都要进行“归”、“除”两步运算。

4.减积档次规则:

从被除数(或余数)中减去试商与除数次位及其后各位的乘积的档次规则是:除数是第几位，它与商数的乘积的个位数，从商数右面第几档减去，积的十位数则从个位数的左一档减去。即试商与除数第二位数相乘，从商后第一位减去其积的十位，第二位减去积的个位；试商与除数第三位数相乘，从商后第二位减去其积的十位，第三位减去积的个位,余类推。

5.计算结束后,根据算盘上商的有效数字和确定的商的数位,写出商数。

例：4392.82÷23.9=183.8

解：(1)置被除数4392.82于盘中,除数23.9于盘右端,如图1

用除法公式定位法m-n+1=4-2+1=3位,确定该题商数为正三位数;

(2)以除数首位2除被除数首位4,“逢二进一求得试商1,试商1乘除数次位3“一三03“从试商1后第二档减去积3,试商1乘除数第三位9,“一九09”从试商1后第三档减去积9,如图2

(3)用撞归法求次商,“见二无除作九二”把余数200282首位2改作商数9,在其下档加余数2,用退商法调商“无除退一下还二”把商数9减去1,在下档上加2,以次商8乘除数次位3”八三24”,从次商8后一二档减积24,以次商8乘除数第三位9“八九72”,从次商8后二、三档减积72,如图3。

(4)以除数239除余数9082,“逢六进三”求出第三位商3,从余数中减去3×39之积117,如图4

(5)以除数239除余数1912,“二一改作五”将余数首位1改作商数5,余数较大,用补商法调商,“逢六进三”在试商5上加3,确商为8,余数为312,减去8×39之积312,恰好除尽,商数为183.8,如图5

一归：逢一进一十，逢二进二十，逢三进三十，逢四进四十，逢五进五十，逢六进六十，逢七进七十，逢八进八十，逢九进九十

二归：二一改作五（二一添作五），逢二进一十

三归：三一三十一，三二六十二，逢三进一十

四归：四一二十二，四二改作五（四二添作五），四三七十二，逢四进一十

五归：五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八，逢五进一十

六归：六一下加四，六二三十二，六三改作五（六三添作五），六四六十四，六五八十二，逢六进一十

七归：七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进一十

八归：八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四改作五（八四添作五），八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进一十

九归：九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九进一十

九归口诀按其来源及含义，用法分为四类，即

改商类：“改作几”的口诀：被除数（或余数）首位数小于除数，能除尽无余数时使用。此类口诀第一个字为除数，第二个字为被除数（或余数），第五个字为商数。如：“二一改作五”是反指除数是2，被除数是1，指被除数首位数1添上4，改作 5。

商余类“几余几”的口诀：被除数（或余数）首位数小于除数，除不尽的余数时使用。此类口诀第一字为除数，第二字为被除数，第三字为商数，第五字为余数。如“七三四余二”，是指除数是7，被除数是3时，把被除数的3改作 高数4，并要其右一档加上余数2。

加余类“几加几”的口诀：被除数（或余数）首位数小于除数，除不尽的余数，而被除数首位数又与商数相同时使用。此类口诀第一个字为除数，第二字为被除数和商数，第五字为余数。如“七一下加三”，是指除数是7，除数是1时，把被除数的1视同商数1，并在其右一档加上余数3。

退商口诀共9句：

无除退一下还一，无除退一下还二，无除退一下还三，

无除退一下还四，无除退一下还五，无除退一下还六，

无除退一下还七，无除退一下还八，无除退一下还九，

商九口诀（又叫撞归）共9句：

见一无除作九一，见二无除作九二，见三无除作九三，

见四无除作九四，见五无除作九五，见六无除作九六，

见七无除作九七，见八无除作九八，见九无除作九九.

归除法源于筹算,筹算除法最初用商除法,宋后改用归除法。商除演变为归除，其间经过增成法,九归古括、九归新括,并补充撞归诀、起一诀,逐步形成归除算法体系。

北宋,沈括《梦溪笔谈》称“算术多门,如求一、上驱、搭因、重因之类,皆不离乘除,唯增成一法稍异,其术都不用乘除,但补亏就盈而已。例如欲九除者增一便是,八除者增二便是,但一位一因之,若位数少,则颇简捷、位数多,则愈繁,不若乘除之有常”。

南宋杨辉《乘除通变算宝》载有四句新括:“归数求成十,归余自上加,半而为五计,定位退无差”“九归详说”中著录的32句“九归古括”乃是九归新括的注解,可以认为是现今九归口诀的雏形(详见“九归古括”)。

元代朱世杰《算学启蒙》载有九归除法口诀36句与今九归口诀相近(参见“九归口诀“条)该书并载“九归除法门”歌诀如下:

实少法多从法归；实多满法进前居；常存除数专心记；法实相停九十余;

但遇无除还头位；然将释九数呼除；流传故泄真消息；求一穿韬总不如

其中“法实相停九十余”即指撞归而言,“但遇无除还头位”即指起一(退商)而言。

其后算书如元代安止斋、何平子《详明算法》,明代程大位《算法统宗》中所载九归口诀均与朱世杰书中口诀基本相同《详明算法》(1373年)与《丁巨算法》(1355年)均载有撞归口诀,较朝鲜所传《授时历捷法立成》(1344年)撞归口几乎是同一时期。

《详明算法》所载“归除歌诀”如下:

惟有归除法更奇，将身归了次除之，有归若是无除数，起一回将原数旋。

若遇本归归不得，撞归之法莫教迟，若人识得中问意，算学虽深尽可知。

上列歌诀已将归除、退商、撞归之法作了完备简要归纳,以至明代程大位《算法统宗》亦录入此诀和“九归歌”、“归除歌”、“撞归法”、“起一还原法”并大加推崇归除法,遂使归除流传极广,延续近世。