拟凸函数是凸集上的一类函数，设S是线性空间中的非空凸集，f是S上的实值函数，若对任何实数α∈(0，1)和S中的任意两点x1和x2，恒有 f(αx1+(1-α)x2)≤max{f(x1),f(x2)}， 则称f是S上的拟凸函数，或f在S上是拟凸的，S上的凸函数也是S上的拟凸函数，对于任何α∈(0，1)和任意的x1，x2∈S，若f(x2)≥f(x1)，而f(x2)不小于在x1与x2连线上一切点的函数值，则f是拟凸的。

函数 称为拟凸函数(或者单峰函数)，如果其定义域及所有下水平集

,都是凸集。函数 是拟凹函数，如果 是拟凸函数，即每个上水平集 是凸集。若某函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。函数是拟线性函数，如果其定义域和所有的水平集 都是凸集。

定义1 设 定义域是凸集 ，若对于任意的 ，都有

则称 在Z上是拟凸的。

定义2 设 其定义域 ，若对于任意 ， 都有

则称 在Z上是严格拟凸的。

若一 是拟凸(严格拟凸)，则称 是拟凹(严格拟凹)的。

定义3 设 其定义域 ，若对于任意的 ，都有 则称 在Z上是强拟凸的。

若一 是强拟凸的，则称 是强拟凹的。

对于定义在R上的函数，拟凸性要求每个下水平集是一个区间(有可能包括无限区间)。R上的一个拟凸函数如图1所示。

图1中R上的一个拟凸函数。对于任意 ， 下水平集 是凸集，即某区间。下水平集 是区间[a，b]。下水平集 是区间 。

凸函数具有凸的下水平集，所以也是拟凸函数。但是拟凸函数不一定是凸函数。图1所示的简单例子即说明了这一点。

例1 R上的一些例子：

对数函数：定义在 上的函数 是拟凸函数(也是拟凹函数，因此是拟线性函数)。上取整函数:函数 是拟凸函数(亦为拟凹函数)。

从上述例子可以看出，拟凸函数可能是凹函数，甚至有可能是不连续的。下面给出 上的一些例子。

例2向量的长度。定义 的长度为非零分量的下标的最大值，即

(定义零向量的长度为零。)由于此函数的下水平集是子空间

所以它在 上是拟凸函数。

在拟凸条件下，凸函数的很多性质仍然成立，或者可以找到类似性质。例如，存在一种变化的Jensen不等式来描述拟凸函数：函数f是拟凸函数的充要条件是， 是凸集，且对于任意 及 ，有

即线段中任意一点的函数值不超过其端点函数值中最大的那个。上述不等式有时称为拟凸函数的Jensen不等式，图2所示即为一个拟凸函数的例子。

和凸性类似，拟凸性可以由函数 在直线上的性质刻画：函数 是拟凸的充要条件是它在和其定义域相交的任意直线上是拟凸函数。特别地，可以通过将一个函数限制在任意直线上，通过考察所得到的函数在R上的拟凸性来验证原函数的拟凸性。

R上的拟凸函数

对R上的拟凸函数，我们给出一个简单的刻画。由于考虑一般的函数较为繁琐，所以我们考虑连续函数。连续函数 是拟凸的，当且仅当下述条件至少有一个成立。

1.函数 是非减的；

2.函数 是非增的；

3.存在一点 ，使得对于 (且 )，f非增，对于t≥c(且 )，f非减，点c可以在 的全局最小点中任选一个。图3描述了这样的情形。

设 是强拟凸函数，则 是严格拟凸和拟凸函数。

但是严格拟凸函数不一定是拟凸函数，例如：

它是严格拟凸，但它不是拟凸的。事实上，当函数是下半连续时，由严格拟凸性可推出拟凸性。

设f是定义在凸集 上的实值函数，则对每个 ，f 的水平集都是凸集的充分必要条件是f是拟凸函数。

与凸函数相反，拟凸函数在它的定义域内部可以不连续，而且并非每个局部极小必是一个整体极小。

设 在凸集 是拟凸函数，若 是f的一个严格局部极小值点，则 也是f在Z上的严格整体极小值。

设f 在开凸集 上是可微的，则f 是拟凸函数的充要条件是： ，若

必有

设f在正则凸集 (有非空内部的凸集)上是拟凸的必要条件是：对每个 ，均有

类似的，拟凹的必要条件是：对每个 有

设f在正则凸集 上，对每个 有

则f 在Z上拟凸的，每个 有

则f在Z上是拟凹的。

设f在凸集 上的严格拟凸函数， 是f的一个局部极小值点，则 也是f在Z上的整体极小值点。