旁心，三角形五心之一（其他四个为内心、外心、重心和垂心）。旁心是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心。

与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，如图1所示，一个三角形有三个旁切圆，旁切圆的圆心简称为三角形的旁心。

记 的三边BC、CA、AB的边长分别为a、b、c，令 分别与BC、CA、AB外侧相切的旁切圆圆心记为 ，其半径记为 ， 表示△ABC的面积，R、r分别为 的外接圆半径与内切圆半径。

性质1 三角形的旁心是其一内角的平分线(所在直线)和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。

性质2 三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来．一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。

性质3 (对于顶角B,C也有类似的式子，略)。

性质4

性质5

注 第三式由平均值不等式推证的。

性质6

性质7 设 、 、 分别切 的边BC、CA、AB于P、Q、R，内切圆 分别切BC、CA、AB于K、S、T，则BP=AQ=CK=p-c，PC=AR=BK=p-b，BR=CQ=AT=p-a。

性质8 设 的连线交 的外接圆于D，则 (对于 也有同样的结论，略)。

性质9

性质10 一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等三个旁切圆半径之比。

性质11 过旁心 的直线交AB,AC所在直线分别于P、Q，则

性质12 的内切圆 分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，直线AI交内切圆于点P、Q，则P、Q分别为 的内心与旁心。

例1 如图 2，在凸四边形ABCD中，AD不平行于BC,从A点引内、外角平分线与从B点所引内、外角平分线相交于K，L；又从C点引内、外角平分线与从D点引内、外角平分线相交于P、Q。求证：K、L、P、Q四点共线。

证明 由AD不平行于BC，则可知AD，BC的延长线必相交，设交点为E，就△ABE来看，K为其旁心，L为其内心，因此，K、L、E三点共∠ AEB 的角平分线，就△CDE来看，P是其旁心，Q是其内心，因此，P、Q、E三点共∠DEC的角平分线，故知K、L、P、Q共线于∠AEB的角平分线。

例2 如图3，设 是△ABC的边BC外侧相切的旁切圆，D、E、F分别是 与BC、CA、AB所在直线的切点，若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC。

证明 过K作BC的平行线分别交AB、AC于N、M，连OE、OF、OM、ON。

由K、O、E、M四点共圆；O、K、F、N四点共圆，有∠OME=∠OKE=∠ONF，而OE=OF，且∠OEM=∠OFN=90°，故Rt∆OEM≌Rt∆OFN,从而OM=ON。

在等腰△OMN中，OK为底边MN上的高，从而NK=KM，即K为MN的中点，而BC//NM,故知AK平分BC。

注此例中的旁切圆换成内切圆，有同样的结论，也可用同样的证法来证。