集合论中肯定无穷集合存在的公理。在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷性公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。

G.F.P.康托尔在建立集合论时，发现仅靠逻辑公理不能保证有无穷集合存在，因为没有一个一阶公式能在无穷个体域有效而在有穷个体域上不有效。而利用ZF系统中的公理①～⑥及⑧、⑨（见集合论）虽然可以定义一个个具体的自然数，也可以定义自然数概念，但却无法证明全体自然数的集合w={0,1,… }存在，也无法证明任何一个无穷集合的存在性。实际上,如果ZF(有模型，则全体继承性有穷的集合，即其本身有穷、其元素有穷、其元素的元素有穷……仍是ZF(的模型。即便如此,ZF(公理仍不能保证无穷集的存在，而必须有一条专门的公理。

按照无穷性公理，最基本的无穷集是自然数集w，w的最突出的特点是归纳性它表现为如果 ∈,并且∈A^0蕴涵wU∈A,就称A为归纳集。无穷公理通常就是从这个角度陈述的。利用无穷性公理和子集公理（见子集公理模式）可以定义w为最小的归纳集，一旦有了w就可以证明归纳原则和递归定理，然后就可以递归地定义自然数上的各种运算。例如， 可以把加法定义为m+0=m,n+s(n)=s（m+n）；乘法定义为m·0=0,m·s(n)=m·n+m。例中m为任意自然数，自然数之间的<关系定义为∈。容易验证，这样定义出的自然数与直观的自然数概念是吻合的。利用w和ZF公理可以定义整数、有理数、实数、复数等各种数学对象及其运算，也可以推出形形色色的无穷集合的存在性。

现代集合论中还有一些强无穷性公理，也叫大基数公理，它们断言有各种大基数存在，现已提出的大基数达数十种，它们都可以看作是w的某种推广。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读作：

或用非形式化的语言陈述：存在一个集合N，使得空集在N中，并且只要x是N的成员，则x与它的单元素集合{x} 此两者的并集也是N的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合X：对于所有x ∈ X，x的后继x' 也是X的一个元素。

要理解这个公理，首先我们要定义x的后继为x∪ {x}。注意配对公理允许我们形成单元素集合 {x}。 后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，0是空集（0 = {}），而1是 0 的后继：

类似地，2 是1 的后继：

如此类推。这个定义的推论是对于任何自然数n，n等同于由它的所有前驱（predecessor）组成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一个集合，但是只使用其他ZF公理的话并不能做到这一点。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的：首先假定有一个集合S包含零，并接着规定对于S的所有元素，这个元素的后继也在S中。

这个集合S可以不只是包含自然数，还包含别的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合N。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

用非形式化的语言陈述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然数k的后继，并且k的每个元素要么是0要么是k的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。