数轴上表示有理数的点称为有理点，表示无理数的点称为无理点；在一个
n维空间中的
几何物体，它的每一点的
坐标可以用(x1,x2,...,xn)表示，如果所有xi都是
有理数，则称该点为有理点。
实数由有理数与无理数两部分组成，有理数包括零、正负整数和正负分数。有理数可写成 的形式(其中p、q为整数，且 )，也可表示为整数、有限小数或无限循环小数，而无理数只能表示成无限不循环小数。
有理点具有稠密性，即数轴上任意两个不同的有理点之间一定存在无穷多个有理点；同样地，无理点也具有稠密性。有理数经过四则运算(除数不为零)其结果仍为有理数；而无理数经过四则运算其结果可能为无理数也可能为有理数。
设有一条水平直线，在这条直线上取定一点O，称为原点，规定一个正方向(习惯上规定由原点向右的方向为正方向)，再规定一个长度，称为单位长度，这种具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。
任何一个有理数 ，都可以在数轴上找到一个点与之对应，使得由原点到这点的长度与单位长度之比等于 这样得到的点称为有理点，它是有理数 的几何表示，而 称为有理点的坐标，反之，数轴上任何一个有理点必对应于一个有理数。
任给两个有理数 ，在 之间至少可以找到一个有理数c，使得a
虽然有理点在数轴上处处稠密，但是有理点尚未充满数轴。例如边长为一个长度单位的正方形，其对角线的长度为 个长度单位，可以证明 不是有理数，因此数轴上坐标为 的点不是有理点，这种点也有无穷多个，而且在数轴上也是处处稠密的。例如，坐标为 等的点都不是有理点，因此，数轴上除有理点之外还有无穷多个“空隙”，这些空隙处的点称为无理点，与无理点相对应的数称为无理数。
相关知识
人们对数的认识是逐步发展的，先是自然数，继而发展到有理数(即正负整数、正负分数及0)，再进一步就发展到无理数(例如 、 等都是无理数)．有理数可以表示为 ，无理数不能表示为 ，其中 都是整数，且。
分数可以用有穷小数或无穷循环小数表示，反之，有穷小数或无穷循环小数亦可用分数表示。
因此，有理数可以表示为有穷小数或无穷循环小数，而无理数为无穷不循环小数。
有理数与无理数统称为实数，实数充满数轴而且没有空隙，这就是实数的连续性，由此可知，每一个实数必是数轴上某一个点的坐标；反之，数轴上每一点的坐标必是一个实数，这就是说全体实数与数轴上的全体点形成一一对应的关系，一般我们所研究的数都是实数，为了简单起见，常常将实数和数轴上与它对应的点不加区别，用相同的符号表示，如点a和实数a是相同的意思。
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫格点，格点又称为整点；横、纵坐标都是有理数的点称为有理点，格点是有理点，不是有理点的点称为无理点。
直角坐标平面上顶点均为有理点的三角形称为有理点三角形，顶点均为格点的三角形称为格点三角形(或整点三角形)，类似地，顶点均为有理点的n(n>3)边形称为有理点n边形；顶点均为格点的n边形称为格点n边形(或整点n边形)。
有理点性质
性质1
设 是有理点，P是 的定比分点，若定比 ，则P点必为有理点。
特别地，两个有理点的中点是有理点。
性质2
过两个有理点 的直线斜率是有理数。
利用性质1、性质2易得：有理点三角形（见“相关知识”）的
重心、
外心、
垂心均为有理点，而它的内心未必是有理点。例如：顶点坐标为 的三角形ABC的
内心坐标为 ，是个无理点。
性质3
若 是有理点三角形，则只要tanA、tanB、tanC有意义，它们就均为有理数。
由 是无理数知有理点三角形不可能是正三角形，特别地，格点三角形不可能是正三角形。
判别有理点和无理点
有理数可以表示为 ，即有理数可写成 的形式，无理数不能表示为，其中 都是整数，且。
分数可以用有穷小数或无穷循环小数表示；反之，有穷小数或无穷循环小数亦可用分数表示。因此，有理数也可表示为整数、有限小数或无限循环小数，而无理数只能表示成无限不循环小数。
任何一个有理数 ，都可以在数轴上找到一个点与之对应，使得由原点到这点的长度与单位长度之比等于 这样得到的点称为有理点，它是有理数 的几何表示，而 称为有理点的坐标，反之，数轴上任何一个有理点必对应于一个有理数。