泛函分析中一种重要的算子。

①设 是从线性赋范空间 到 的线性算子。 如果 当存在且有限，则称 是有界线性算子，也就是说 将 中的每个有界集映射为 中的有界集。此处 |表示范数， 表示 中定义的范数， 表示 中定义的范数。

②设V1与V2是同一数域K上的赋范线性空间，D是V1的子空间，T:D→V2是一映射．如果T满足： 、

则称T是可加的．如果T满足：

则称T是齐次的．如果T既是可加的又是齐次的，则称T是一个线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，即D(T)=D．如果T是线性算子且存在常数M>0使得

则称T为有界线性算子．特别地，当V2是数域K时，则称有界线性算子T为有界线性泛函．

下面介绍几个简单例子．

例l1 设V是赋范空问，定义

则I与θ都是V上(即V到V)的有界线性算子，分别称为恒等算子与零算子，零

算子θ常记为0(与数零用同一记号)．

例2 解析几何中的旋转变换：

是实二维空间R2上的有界线性算子，因为

有界线性算子范数

与Ⅳ中向量类似．函数和数列范数同样是各自所在线性赋范空间的重要度量，它度量了抽象空间中向量的某种“能力”和“强度”，如峰值、能量、绝对均值等。有界线性算子集合也可以构成自己的线性赋范空间。有界线性算子也有范数，可度量和描述有界线性算子的某种映射“功能”“作用”或“过程”等。也就是需要用非负的实数以最简明的方式来度量和描述线性算子“功能”。范数不但是重要的数学概念，也是工程技术领域中普遍应用的概念和思维方式。

设X，Y为线性赋范空间，T为X→Y的有界线性算子，对任何x∈X，称

为有界线性算子的范数。当确定了一个最小的非负数M使上式集合中表示条件的等号

成立时，则有

为T对||x||的“放大”倍数．它显然随x∈X而变化，在X中遍取x获取||T(x)||的最大值(最小上界)，则

可以作为有界线性算子的范数，即有界线性算子对线性赋范空间X中抽象向量X的范数

||X||的最大“放大”能力。正像衡量运动员百米速度一样，要记下所有运动员在相同条

件下的比赛成绩．以成绩作为人类百米赛速度的一种度量，即世界纪录。对个人来

讲，也是用历次成绩的值作为自己的荣耀。

由于T是线性算子．当x“方向''确定以后．算子T的“放大''能力应该是

x“方向”上的常数比值，即

上式利用了线性映射齐次性式和范数齐次性。于是，可以规定一个“标准”，||X||

等于某个常数(一般取1)，x成为X中单位球面上的向量，体现了“大小”因素的标准化，

使x仅存方向因素对||T||有影响。于是

即有界线性算子的范数为对单位球上向量的最大放大量。

定理1 设X和Y是同一数域K上的两个线性赋范空间，D是X中一线性子

空间，T：D→Y为线性算子，那么

(1)T有界的充要条件是存在正常数μ，使得

(2)T在D上连续的充要条件是T在D的某一点X0上连续;

(3)T为有界算子的充要条件是T为连续算子．

定理2 设X和Y是同一数域K上的两个线性赋范空间，D是X中一线性子空间，T：D→Y为线性算子，那么

设 是从线性赋范空间 到 的线性算子。则下面命题等价：

1、 是有界线性算子。

2、 是连续线性算子。

3、 存在 , 在 处连续。

4、 存在 使得