梅森数(Mersenne number)又称麦森数，是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若其是素数，则称为梅森素数。

梅森数(Mersenne number)又称麦森数，是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若其是素数，则称为梅森素数。

梅森素数是数论研究中的一项重要内容，自古希腊时代起人们就开始了对梅森素数的探索。由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究。

素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2^p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

17世纪法国著名数学家梅森曾对“2^p-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。由于他是当时欧洲科学界的中心人物和法兰西科学院的奠基人，数学界就将“2^p-1”型的素数称为“梅森素数”，其余的数称谓梅森合数。

马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑。

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

值得一提的是：在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“卢卡斯-莱默检验法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

美国中央密苏里大学数学家库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，于2016年1月7日发现了第49个梅森素数——274,207,281-1。该素数也是目前已知的最大素数，有22,338,618位。这是库珀教授第四次通过GIMPS项目发现新的梅森素数，刷新了他的记录。他上次发现第48个梅森素数257,885,161-1是在2013年1月，有17425170位。

梅森素数在当代具有重大意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。难怪许多科学家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯 索托伊甚至认为它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因 子数，凡是一个素数是四倍金字塔数A的因子数，都不是以后梅森合数的因子数，则留下部份素数可能都是梅森合数的因子数。

梅森素数的计算公式

3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M

P是梅森数的指数，M是P以下的梅森素数的个数。

以下是计算的数值与实际数的情况：

指数5，计算2.947，实际3 ，误差0.053；

指数7，计算3.764，实际4 ，误差 0.236；

指数13，计算4.891，实际5，误差0.109；

指数17，计算5.339，实际6，误差0.661；

指数19，计算5.766，实际7，误差1.234；

指数31，计算6.746，实际8，误差1.254；

指数61，计算8.445，实际9，误差0.555；

指数89，计算9.201，实际10，误差0.799；

指数107，计算9.697，实际11，误差1.303；

指数127，计算10.036 ，实际12，误差1.964；

指数521，计算13.818，实际13，误差-0.818；

指数607，计算14.259，实际14，误差-0.259；

指数1279，计算16.306，实际15，误差-1.306；

指数2203，计算17.573，实际16，误差-1.573；

指数2281，计算17.941，实际17，误差-0.941；

这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首，1被除外了，所以要减去1。在不考虑重叠问题，应该P减1就可以了，这里已考虑重叠问题，所以就P减1.2.在梅森数的指数渐渐增大，1.2是否合适，还要等实际检验。

所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因 子数，则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。

在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。

一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。

一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。

一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。

所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。

梅森素数都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1数列中（A前项的数），这种数暂时叫它四倍金字塔数，代号A。

在1+4+16+64+。。。。。。+4A数列中的数，是阳性不等数（不等于6NM+-（N+M））的乘以6加上1就是梅森素数。

在2^N-1数列中指数是偶数的都是3A。

证明梅森素数无限多

梅森素数都在指数n是无限多的2^n-1数列中，梅森数和梅森素数只占其中的很少比例。

根据费马小定理，每一个奇素数都会以数因子出现在2^n-1数列中，只不过有些提前出现，有些最后出现。只有梅森素数是最早出现在这个数列中的。其他有素数都不会最早出现，最迟出现的素数是在本数减1的数中，也就是费马小定理的地方。

每一个奇素数都十分有规律作为因子数出现在2^n-1数列中，一个素数第一次出现在2^n-1数中（包括梅森素数），这个素数就以n为周期反复出现在2^n-1数列中，如3第一次出现在n=2中，指数能被2整除的都有3的因子数;如7第一次出现在n=3，指数能被3整除的都有7的因子数;如5第一次出现在n=4中,指数能被4整除都有5的因子数。

以上的定理不用证明也可以证明梅森素数无限多，因有费马小定理作保证。

一个素数出现在2^n-1数列n中，不管n是素数不是素数，只要用小于n的全部奇素数去筛，指数n都在其中。如果是合数与前面的素数是重叠的，所以不用重筛了。

要筛完2^n-1数列中所有数因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以内的所有素数去筛，这样剩下没有筛的就是梅森素数了.

2^n-1的数列是无限多的，无限多的自然数任你筛多少次的几分之一，永远是无限多的。所以梅森素数是无限多的。

2018年，Jonathan Pace利用“互联网梅森素数搜索”（GIMPS），成功发现第50个梅森素数M77232917，该素数有23249425位。