模群(modular group)即亏格大于2的闭曲面上映射类群。考虑拓扑曲面Sg上所有保向自同胚集合，在其上定义一等价关系使得两元素h与h'等价，当且仅当h与'h同伦，如此所得到的等价类集合在复合运算[h]°[h']=[h°h']下构成一群，称为模群，或映射类群。

模群即亏格大于2的闭曲面上映射类群。考虑拓扑曲面Sg上所有保向自同胚集合，在其上定义一等价关系使得两元素h与h'等价，当且仅当h与h'同伦，如此所得到的等价类集合在复合运算[h]°[h']=[h°h']下构成一群，称为模群，或映射类群。模群以如下方式自然地作用于泰希米勒空间：[h']([s，f])=[s，f°h]。易证此种作用是间断的。模群与泰希米勒空间理论、拓扑学及三维流形理论等有密切的联系，至今仍是人们所重点研究的课题之一。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

亏格是黎曼曲面的重要拓扑不变量。一闭曲面(或开曲面)的一维同调群(或模理想边界的一维同调群)之秩是2g，则称g为此曲面的亏格。开曲面的亏格可能为无穷。

拓扑空间的同胚映射下保持不变的性质称为拓扑不变量。

例如，二维紧致定向曲面又二维定向曲面的拓扑不变量亏格、辩解连通分支数唯一决定。拓扑学研究的一个中心问题是拓扑空间的同胚分类。但是直接判断两个拓扑空间之间是否存在同胚映射是很困难的一件事情。因此拓扑学家希望能够找到比较好计算的在同胚映射下保持不变的性质来判断两个拓扑空间不是同胚的。因此，拓扑空间的同胚映射存在问题被转移到拓扑不变量的构造。由此，产生了许多的拓扑不变量如同伦群、同调群。

黎曼曲面是一维复解析流形。由局部定义的解析函数经解析开拓得到的大范围定义的解析函数常常是多值的，它的单值定义域即是相联于此函数的黎曼曲面。它能由有限或可数无穷多的“叶”所组成，这些叶都是复平面C上的域。抽象黎曼曲面定义为：一个曲面M连同一个附加的复结构{(uγ，hγ)}，并记黎曼曲面R=(M，{(uγ，hγ)}).这是外尔(Weyl，(C.H.)H.)首先提出的。这里复结构{(uγ，hγ)}是指开集族{uγ}是M的一开覆盖，即M=∪uγ，hγ是uγ到复平面开集Vγ的同胚映射，亦称局部参数或局部坐标，并且相邻两个局部参数的定义域的交集上，其中一个参数是另一个参数的解析函数。黎曼曲面上定义的函数称为解析的(或调和的或次调和的)，如果在每个参数邻域内它表示为局部参数的解析函数(或调和或次调和函数)。紧致黎曼曲面称为闭黎曼曲面，否则为开黎曼曲面。

黎曼曲面理论中具有基本的重要性的定理是单值化定理。

同胚是拓扑空间之间的一种变换。若f是拓扑空间(X，T)到(Y，U)的单满映射，并且f与f都是连续的，则称f为同胚映射或拓扑变换。存在同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的或拓扑等价的。同胚关系是等价关系。抽象空间的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年开始研究的.在狭窄的意义下同胚的概念早已被庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)引入。

设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。

为使从E到F上的双射是同胚，其充分必要条件是： 这个双射是双连续的。

从一紧空间到另一紧空间上的任一连续双射是同胚。

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X，则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0与映射idx同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)idx≃0，即恒同映射idx零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

闭黎曼曲面上附带一定拓扑条件的复解析结构所构成的空间。假设Sg(g≥0)是一个亏格为g的闭曲面，在复分析及其应用中一个十分重要的基本问题是怎样对Sg上的复结构进行描述。g=0，1的情形早为人们所认识，即S0上有惟一的复结构，S1上的所有复结构可以用一个复参数来描述。当g>1时此问题十分复杂。100多年前，黎曼猜测Sg(g>1)上的所有复结构可用6g-6个实参数来描述。此著名猜测的证明由德国数学家泰希米勒(Teichmu¨ller，O.)于20世纪40年代首先给出，其证明的关键性思想是对一类以Sg为基点的形变空间的拓扑性质及其“自然”作用于其上的模群的分析，这类重要的形变空间即是所称的泰希米勒空间。其定义如下：考虑所有形如[S，f]的元组，其中f：Sg→S为同胚映射，规定一等价关系：[S1，f1]~[S2，f2]，当且仅当存在一共形映射σ：S1→S2满足σ°f1～f2(同伦)，利用拟共形映射的复偏差可在此等价类集合上装备一个完备的度量，并称为泰希米勒度量。如此所得到的拓扑空间Tg称为泰希米勒空间.粗略地说，泰希米勒的重大贡献在于巧妙地应用拟共形映射及Sg上的全纯二次微分给出了一个“直观地”得到Sg上所有复结构的形变方法.与此相关的重要结果有：

1.给定Tg中的任一点[S，f]，存在Sg上的泰希米勒形变T及共形映射h，使得[S，f]=[S，h°T]，且h°T是f的同伦类中伸缩商为最小的惟一的极值映射。

2.记Rg是亏格为g的闭曲面的共形等价类的集合，Mod g是作用于Tg上的模群，则Mod g在Tg上的作用是离散的，且Rg=Tg/Mod g。

3.Tg同胚于6g-6维欧氏空间R中的开球。

阿尔福斯(Ahlfors，L.V.)首先认识到泰希米勒空间的重要价值，并证明Tg上存在与泰希米勒拓扑相容的复结构。稍后伯斯(Bers，L.)证明Tg可被全纯地嵌入到C中有界球的内部.在随后的研究中，Sg的拓扑类型推广到允许Sg上有洞或穿孔点，甚至可以直接从离散群出发来定义广泛的泰希米勒空间。至今泰希米勒空间理论已发展成为现代数学中非常重要的研究课题，它与现代数学及物理中的许多分支，如埃尔米特几何、黎曼几何、代数几何、离散群理论、三维流形理论、动力系统、遍历理论、BMO理论以及超弦理论等均有直接或间接的联系。许多精粹思想交融其中，互映生辉。特别要指出的是由瑟斯顿(Thurston，W.)所创立的“地震”理论.这是与泰希米勒形变理论相媲美的另一个“直观地”得到Sg上所有复结构的形变方法。此外由于计算机技术的发展及应用上的需要，开发对Tg中的目标的计算方法已开始受到人们的重视。