正合函子_保存有限极限的函子

正合函子

保存有限极限的函子

在范畴论中，正合函子（或译作恰当函子）是保存有限极限的函子。在阿贝尔范畴中，这就相当于保存正合序列的函子。

阿贝尔范畴间的正合函子

设为阿贝尔范畴，为加法函子。若对每个正合序列

取后得到的序列

仍为正合序列，则称为正合函子。

由于正合序列总能拆解为短正合序列，在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外，若对每个短正合序列，其像截去尾端零对象后为正合序列，则称左正合函子；类似地，若为正合序列，则称是右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。

一般范畴中的正合函子

考虑一个函子。

若里存在任意的有限射影极限，且与有限射影极限交换（即：），则称为左正合。

若里存在任意的有限归纳极限，且与有限归纳极限交换（即：），则称为右正合。

若上述条件同时被满足，则称为正合。

在阿贝尔范畴中，由于任意有限射影（或归纳）极限可以由核（或上核）与有限积（或上积）生成，此时的定义遂回归到正合序列的定义。

例子

根据极限的泛性质，函子无论对哪个变数都是左正合的，这是左正合函子的基本例子。

设是一对伴随函子。若存在任意有限归纳极限，则右正合；若存在任意有限射影极限，左正合。此法可建立许多函子的正合性。

设为拓扑空间，阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子是左正合函子。

设为环，为右-模，则左-模范畴上的张量积函子是右正合函子。

设为两个阿贝尔范畴，考虑函子范畴，固定一对象，对的“求值”是正合函子。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 15:41

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概述

阿贝尔范畴间的正合函子

一般范畴中的正合函子

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