为了探讨序列的正合性，范畴中必须能构造一个态射的像 与核，并确保这两种构造具备在
阿贝尔群、
向量空间或
模的情形一样的范畴论性质。处理这类问题的框架是
阿贝尔范畴，以下考虑的范畴如未说明皆为阿贝尔范畴。
对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证可以表为与的
半直积；例如我们可考虑群同态
一般而言，设为
链复形，我们同样定义；此时链复形的正合性等价于所有短链的正合性。
对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是。这类序列称作长正合序列，它是
同调代数最重要的技术之一。在
代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。