波前集(wavefront sets)是微局部分析中最基本的概念。在数学分析中,特别是
微局部分析中,一个
分布 f 的波前集WF(f) 在奇异支集singsupp(f) 的基础上进一步刻画了f的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集,一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点,并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由
拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集,定义在超函数上,称为“奇异支集”或“奇异谱”,稍早由
佐藤干夫引入。
在欧式空间的一个区域中,一个分布在一个点处的
奇异纤维,作为的一个子集, 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换,不属于当且仅当存在紧支集
光滑函数以及的一个锥邻域(在正实数乘法下不变)使得,并且在中有如下估计:对于任意正整数N ,存在正常数使得:
Hormander最早的定义用到了
拟微分算子在分布上的作用:是所有满足如下性质的点在中的补集: 存在的锥邻域 使得对于任意的满足的拟微分算子, 有。
(3) 如果是一个光滑映射,记为f 的法丛。如果满足,那么我们可以“唯一的”定义u在f 下的拉回。并且我们有。 特别的,如果f是一个微分同胚,。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。
以上所定义的波前集描述的是分布的关于正则性的奇异性,类似的可以定义关于实解析性的波前集,关于Gevery类的波前集,关于Sobolev空间的波前集等等。在使用FBI变换的定义中,这些波前集有一个很好的统一的描述。