波粒二象性（wave-particle duality）指的是所有的粒子或量子不仅可以部分地以粒子的术语来描述，也可以部分地用波的术语来描述。波粒二象性是指某物质同时具备波和粒子的特质。这意味着经典的有关“粒子”与“波”的概念失去了完全描述量子范围内的物理行为的能力。爱因斯坦这样描述这一现象：“好像有时我们必须用一套理论，有时候又必须用另一套理论来描述（这些粒子的行为），有时候又必须两者都用。我们遇到了一类新的困难，这种困难迫使我们要借助两种互相矛盾的的观点来描述现实，两种观点单独是无法完全解释光的现象的，但是合在一起便可以。” 波粒二象性是微观粒子的基本属性之一。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。

惠更斯、牛顿

按照惠更斯原理，波的直线传播与球面传播。

较为完全的光理论最早是由克里斯蒂安·惠更斯发展成型，他提出了一种光波动说。使用这理论，他能够解释光波如何因相互干涉而形成波前，在波前的每一点可以认为是产生球面次波的点波源，而以后任何时刻的波前则可看作是这些次波的包络。从他的原理，可以给出波的直线传播与球面传播的定性解释，并且推导出反射定律与折射定律，但是他并不能解释，为什么当光波遇到边缘、孔径或狭缝时，会偏离直线传播，即衍射效应。惠更斯假定次波只会朝前方传播，而不会朝后方传播。他并没有解释为什么会发生这种物理行为。稍后，艾萨克·牛顿提出了光微粒说。他认为光是由非常奥妙的微粒组成，遵守运动定律。这可以合理解释光的直线传播和反射性质。但是，对于光的折射与衍射性质，牛顿的解释并不很令人满意，他遭遇到了较大的困难。

由于牛顿无与伦比的学术地位，他的粒子理论在一个多世纪内无人敢于挑战，而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘。直到十九世纪初衍射现象被发现，光的波动理论才重新得到承认。而光的波动性与粒子性的争论从未平息。

杨、菲涅尔、麦克斯韦、赫兹

在双缝实验里，从光源传播出来的相干光束，照射在一块刻有两条狭缝的不透明挡板 。在挡板的后面，摆设了摄影胶卷或某种侦测屏 ，用来纪录到达 的任何位置 的光束。最右边黑白相间的条纹，显示出光束在侦测屏的干涉图样。

十九世纪早期，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳分别做出重大贡献。托马斯·杨完成的双缝实验显示出，衍射光波遵守叠加原理，这是牛顿的光微粒说无法预测的一种波动行为。这实验确切地证实了光的波动性质。奥古斯丁·菲涅耳提出惠更斯-菲涅耳原理，在惠更斯原理的基础上假定次波与次波之间会彼此发生干涉，又假定次波的波幅与方向有关。惠更斯－菲涅耳原理能够解释光波的朝前方传播与衍射现象。光波动说并没有立刻取代光微粒说。但是，到了十九世纪中期，光波动说开始主导科学思潮，因为它能够说明偏振现象的机制，这是光微粒说所不能够的。

同世纪后期，詹姆斯·麦克斯韦将电磁学的理论加以整合，提出麦克斯韦方程组。这方程组能够分析电磁学的种种现象。从这方程组，他推导出电磁波方程。应用电磁波方程计算获得的电磁波波速等于做实验测量到的光波速度。麦克斯韦于是猜测光波就是电磁波。电磁学和光学因此联结成统一理论。1888年，海因里希·赫兹做实验发射并接收到麦克斯韦预言的电磁波，证实麦克斯韦的猜测正确无误。从这时，光波动说开始被广泛认可。

普朗克黑体辐射定律

1901年，马克斯·普朗克发表了一份研究报告，他对于黑体在平衡状况的发射光波频谱的预测，完全符合实验数据。在这份报告里，他做出特别数学假说，将谐振子（组成黑体墙壁表面的原子）所发射或吸收的电磁辐射能量加以量子化，他称呼这种离散能量为量子。

其中，h是离散能量， 是普朗克常数。

这就是著名的普朗克关系式。从普朗克的假说，普朗克推导出一条黑体能量分布定律，称为普朗克黑体辐射定律。

爱因斯坦与光子

光电效应示意图：来自左上方的光子冲撞到金属表面，将电子逐出金属表面，并且向右上方移去。

光电效应指的是，照射光束于金属表面会使其发射出电子的效应，发射出的电子称为光电子。为了产生光电效应，光频率必须超过金属物质的特征频率，称为其“极限频率”。举例而言，照射辐照度很微弱的蓝光束于钾金属表面，只要频率大于其极限频率，就能使其发射出光电子，但是无论辐照度多么强烈的红光束，一旦频率小于钾金属的极限频率，就无法促使发射出光电子。根据光波动说，光波的辐照度或波幅对应于所携带的能量，因而辐照度很强烈的光束一定能提供更多能量将电子逐出。然而事实与经典理论预期恰巧相反。

1905年，爱因斯坦对于光电效应给出解释。他将光束描述为一群离散的量子，现称为光子，而不是连续性波动。从普朗克黑体辐射定律，爱因斯坦推论，组成光束的每一个光子所拥有的能量 等于频率 乘以一个常数，即普朗克常数，他提出了“爱因斯坦光电效应方程”，其中， Wo是逃逸电子的最大动能， 是逸出功。

假若光子的频率大于物质的极限频率，则这光子拥有足够能量来克服逸出功，使得一个电子逃逸，造成光电效应。爱因斯坦的论述解释了为什么光电子的能量只与频率有关，而与辐照度无关。虽然蓝光的辐照度很微弱，只要频率足够高，则会产生一些高能量光子来促使束缚电子逃逸。尽管红光的辐照度很强烈，由于频率太低，无法给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。

1916年，美国物理学者罗伯特·密立根做实验证实了爱因斯坦关于光电效应的理论。从麦克斯韦方程组，无法推导出普朗克与爱因斯坦分别提出的这两个非经典论述。物理学者被迫承认，除了波动性质以外，光也具有粒子性质。

既然光具有波粒二象性，应该也可以用波动概念来分析光电效应，完全不需用到光子的概念。1969年，威利斯·兰姆与马兰·斯考立（Marlan Scully）应用在原子内部束缚电子的能级跃迁机制证明了这论述。

德布罗意与物质波

在光具有波粒二象性的启发下，法国物理学家德布罗意（1892～1987）在1924年提出一个假说，指出波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子，包括电子和质子、中子，都具有波粒二象性。他把光子的动量与波长的关系式p=h/λ推广到一切微观粒子上，指出：具有质量m 和速度v 的运动粒子也具有波动性，这种波的波长等于普朗克恒量h 跟粒子动量mv 的比，即λ= h/（mv）。这个关系式后来就叫做德布罗意公式。

三年后，通过两个独立的电子衍射实验，德布罗意的方程被证实可以用来描述电子的量子行为。在阿伯丁大学，乔治·汤姆孙将电子束照射穿过薄金属片，并且观察到预测的干涉样式。在贝尔实验室，克林顿·戴维森和雷斯特·革末做实验将低速电子入射于镍晶体，取得电子的衍射图样，这结果符合理论预测。

海森堡不确定性原理

1927年，维尔纳·海森堡提出海森堡不确定性原理。

海森堡原本解释他的不确定性原理为测量动作的后果：准确地测量粒子的位置会搅扰其动量，反之亦然。他并且给出一个思想实验为范例，即著名的海森堡显微镜实验，来说明电子位置和动量的不确定性。这思想实验关键地倚靠德布罗意假说为其论述。但是现今，物理学者认为，测量造成的搅扰只是其中一部分解释，不确定性存在于粒子本身，是粒子内秉的性质，在测量动作之前就已存在。

实际而言，对于不确定原理的现代解释，将尼尔斯·玻尔与海森堡主导提出的哥本哈根诠释加以延伸，更甚倚赖于粒子的波动说：就如同研讨传播于细绳的波动在某时刻所处的准确位置是毫无意义的，粒子没有完美准确的位置；同样地，就如同研讨传播于细绳地脉波的波长是毫无意义地，粒子没有完美准确的动量。此外，假设粒子的位置不确定性越小，则动量不确定性越大，反之亦然。

大尺寸物体的波动行为

自从物理学者演示出光子与电子具有波动性质之后，对于中子、质子也完成了很多类似实验。在这些实验里，比较著名的是于1929年奥托·施特恩团队完成的氢、氦粒子束衍射实验，这实验精彩地演示出原子和分子的波动性质。近期，关于原子、分子的类似实验显示出，更大尺寸、更复杂的粒子也具有波动性质，这在本段落会有详细说明。

1970年代，物理学者使用中子干涉仪（neutron interferometer）完成了一系列实验，这些实验强调引力与波粒二象性彼此之间的关系。中子是组成原子核的粒子之一，它贡献出原子核的部分质量，由此，也贡献出普通物质的部分质量。在中子干涉仪里，中子就好似量子波一样，直接感受到引力的作用。因为万物都会感受到引力的作用，包括光子在内（请参阅条目广义相对论的实验验证），这是已知的事实，这实验所获得的结果并不令人惊讶。但是，带质量费米子的量子波，处于引力场内，自我干涉的现象，尚未被实验证实。

1999年，维也纳大学研究团队观察到C60 富勒烯的衍射富勒烯是相当大型与沉重的物体，原子量为720 u，德布罗意波长为2.5 pm，而分子的直径为1 nm，大约400倍大。2012年，这远场衍射实验被延伸实现于酞菁分子和比它更重的衍生物，这两种分子分别是由58和114个原子组成。在这些实验里，干涉图样的形成被实时计录，敏感度达到单独分子程度。

2003年，同样维也纳研究团队演示出四苯基卟啉（tetraphenylporphyrin）的波动性。这是一种延伸达2 nm、质量为614 u的生物染料。在这实验里，他们使用的是一种近场塔尔博特-劳厄干涉仪（Talbot Lau interferometer）。使用这种干涉仪，他们又观察到C60F48.的干涉条纹，C60F48.是一种氟化巴基球，质量为1600 u，是由108 个原子组成。像C70富勒烯一类的大型分子具有恰当的复杂性来显示量子干涉与量子退相干，因此，物理学者能够做实验检试物体在量子-经典界限附近的物理行为。2011年，对于质量为6910 u的分子做实验成功展示出干涉现象。2013年，实验证实，质量超过10,000 u的分子也能发生干涉现象。

在物理学里，长度与质量之间存在有两种基本关系。一种是广义相对论关系，粒子的史瓦西半径与质量成正比；另一种是量子力学关系，粒子的康普顿波长与质量成反比。

大致而言，康普顿波长是量子效应开始变得重要时的系统长度尺寸，粒子质量越大，则康普顿波长越短。史瓦西半径是粒子变为黑洞时的其所有质量被拘束在内的圆球半径，粒子越重，史瓦西半径越大。当粒子的康普顿波长大约等于史瓦西半径时，粒子的质量大约为普朗克质量，粒子的运动行为会强烈地受到量子引力影响。

普朗克质量为 kg，超大于所有已知基本粒子的质量；普朗克长度为 m，超小于核子尺寸。从理论而言，质量大于普朗克质量的物体是否拥有德布罗意波长这个问题不很清楚；从实验而言，是无法达到的。这物体的康普顿波长会小于普朗克长度和史瓦兹半径，在这尺寸，当今物理理论可能会失效，可能需要更广义理论替代。

2009年，伊夫·库德（Yves Couder）发布论文表示，宏观油滴弹跳于振动表面可以用来模拟波粒二象性，毫米尺寸的油滴会生成周期性波动，对于这些油滴的相互作用会引起类量子现象，例如，双缝干涉、,不可预料的隧穿、轨道量子化、塞曼效应等等。

在经典力学里，研究对象总是被明确区分为“纯”粒子和“纯”波动。前者组成了我们常说的“物质”，后者的典型例子则是光波。波粒二象性解决了这个“纯”粒子和“纯”波动的困扰。它提供了一个理论框架，使得任何物质有时能够表现出粒子性质，有时又能够表现出波动性质。量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。波函数具有叠加性，它们能够像波一样互相干涉。同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的机率幅。这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。

之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们皆质量太大，导致德布罗意波长比可观察的极限尺寸要小很多，因此可能发生波动性质的尺寸在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺寸局限于量子力学所描述的范围之内，因而与人们所习惯的图景相差甚远。

在十九世纪末，原子理论逐渐盛行，根据原子理论的看法，物质都是由微小的粒子——原子构成。比如原本被认为是一种流体的电，由汤普森的阴极射线实验证明是由被称为电子的粒子所组成。因此，人们认为大多数的物质是由粒子所组成。而与此同时，波被认为是物质的另一种存在方式。波动理论已经被相当深入地研究，包括干涉和衍射等现象。由于光在托马斯·杨的双缝干涉实验中，以及夫琅和费衍射中所展现的特性，明显地说明它是一种波动。

不过在二十世纪来临之时，这个观点面临了一些挑战。1905年由阿尔伯特·爱因斯坦研究的光电效应展示了光粒子性的一面。随后，电子衍射被预言和证实了。这又展现了原来被认为是粒子的电子波动性的一面。

这个波与粒子的困扰终于在二十世纪初由量子力学的建立所解决，即所谓波粒二象性。它提供了一个理论框架，使得任何物质在一定的环境下都能够表现出这两种性质。量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。波函数具有叠加性，即，它们能够像波一样互相干涉和衍射。同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的几率幅。这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。

之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们的质量太大，导致特征波长比可观察的限度要小很多，因此可能发生波动性质的尺度在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺度决定了它们的行为主要是由量子力学所描述的，因而与我们所习惯的图景相差甚远。

1800年，托马斯·杨发表了《在声和光方面的实验与问题》的论文，认为光与声都是波，光是以太介质中传播的纵振动，不同颜色的光与不同频率的声音是相类似的。他在分析了水波的叠加现象之后说，在声波叠加的情况下，可以产生的加强和减弱，出现复合声调和拍频。尤其重要的是，他提出了“干涉”的概念。

1801年，他在英国皇家学会上宣读了关于薄膜色的论文。论文进一步扩充和发展了惠更斯的波动说，明确地提出了光具有频率和波长，完善了光波的概念。他比较圆满地解释了牛顿环的干涉现象，认为“当有不同起源的两个振动运动或者完全相同，或者在方向很接近时，那么它们的共同作用等于它们每一个振动单独所发生的作用之和。”这在实际上已经提出了光的相干条件及干涉原理。

这一年，他在发表于《哲学会报》上的论文中，全面地阐述了干涉原理：“同一束光的两不同部分以不同的路径，要么完全一样地、要么在方向上十分接近地进入眼睛，在光线的路程差是某个长度的整数倍的地方，光就被加强，而在干涉区域中间状态，光将最强；对于不同颜色的光束来说，这个长度是不同的。”

1802年，托马斯·杨在英国皇家学会讲演时，引用自己所做的双孔（双缝）干涉实验。他说：“为使这两部分光在屏幕上引起的效果叠加起来，需要使来自同一光源、经过不同路径的光到达同一区域，而不使其相离散，如有离散，也能根据回折、反射或折射把光从一方或从两方重合起来，将它们的效果叠加。但是，最简单的办法是将平行光通过两个相距很近的针孔。针孔作为新的光源，从那里发出了球面光波，照射到屏幕上，光的暗影对称地向两侧散开。然而，屏幕与小孔的距离越远，从小孔射来的光就越按相同的角度延伸与扩张。同时，小孔间的距离越近，从它们射出的光就越按比例扩张，这两部分光叠合后，在屏幕上正对两小孔连线的中心处最明亮。两侧部分，光从两个小孔到达各点有一定的路程差，若路程差是光波波长的1倍、2倍、3倍……，路程差是光波波长1/2，3/2，5/2倍则屏幕上的这些地方为亮区，并且相邻的亮区间的距离相等。另一方 的地方。”这就是著名的杨氏双孔双缝实验。

托马斯·杨用红光照射双孔，观察通过双孔后的光在屏幕上形成的光带。他遮住一个针孔时，屏上只有一个红的光强均匀的光点；当两个孔均不遮掩时，屏上两个光点重合区出现了红黑交替的光带，红带相当明亮，其宽度相等，同时，各黑带的宽度也相等，并且等于红带的宽度。

根据各种实验比较，组成极端红光的波长，在空气中应为1/36000英寸，极端紫光应为1/60000英寸，准确测得的可见光的波长。在光学发展史中是具有划时代意义的。

托马斯·杨还将干涉原理应用于解释衍射现象。1803年11月24日，他在讲演中提到了光的干涉的一般法则的实验验证。对随着影子出现的有色边缘进行若干次实验，便发现关于光的两部分的一般法则，有色边缘是根据两部分光的干涉形成的。

第一个实验将木板套窗打开一个孔，在上面糊上一张厚纸，在厚纸上用针尖钻个孔，为了观察方便起见，在木板套窗外的一个适当位置放一个小镜子，从那里反射的太阳光按水平方向射到对面的墙壁上，并且将1/30英寸细长纸片插入太阳光中观察。映在墙壁上或放在各种不同距离上的其它厚纸的影子，除了阴影的两侧边缘之外，那一影子的自身也同样被平行的边缘所分割，其边缘非常细，它的数值随观察影子的距离而异，影子的中心部分总是呈白色。这些边缘是通过细纸片的每个侧面的光的两部分合成的结果，并且与其说是折射不如说是衍射。

第二个实验是有直角的交接处的物体形成影子的时候，在通常的外部边缘上，可以看到增加两三种颜色的变化。这些，从角的平分线开始向两侧排列，向着角平分线以凸状弯曲着。并且离角平分线越远越细。这些边缘也是在物体两侧对影子方向直接弯曲的光叠加的结果。

托马斯·杨的实验一是细竿衍射，实验二是角衍射。1883年当古伊与1885年维恩在光以大角度斜射时，直接观察到了边界波；托马斯·杨关于衍射中边界波的观念得到了证实。

托马斯·杨对光的本性又作了进一步的争辩，他说：“固执于牛顿的光的理论或现代光学专家的不太普遍的假说的人们，最好是对任何事物都要从他的自身的原理出发，提出实验的说明。并且，如果他的这种努力失败的话，他应该承认这些事实，至少应该停止目的在于反对这些事实及其所遵循的理论体系而发表的演讲。”

从上述实验或计算可以推论，平行光在传播方向上的一定距离处，具有相反的性质，在叠加时，互相中和或互相抵消，光也就消失了。而且，还可以推论，这些性质对通过同一介质的相干光来说，在离相干光源为某距离的连续的同心面上交替变化。由测定的一致性与同类现象的相似性，可以下结论说，这些间隔同薄膜彩色条纹的排列形式有关系。当然，光在密的介质中比在疏的介质中进行得更缓慢。而它同时也说明，这不是折射朝向密的介质的引力的结果。支持光的粒子说的人们，必须判断这一理由的关键，即哪一方面最弱这一点。但我们知道，声音在同心的球面上扩大，乐音互相中和，根据音的不同，由在不同的某一等间隔中，相继而起的相反性质所形成。所以得出声音同光的性质之间有非常相似的结论，也是完全可以的。

托马斯·杨还用光由光疏介质射向光密介质界面时，反射光产生半波损失的观点，补充了他对薄膜的彩色条纹的解释。

他在解释光的偏振时，遇到了特殊的困难。这是由于马吕斯和布儒斯特在光的偏振方面取得重大研究成果后，顽固坚持牛顿的微粒说造成的。本来，偏振现象是横波的特性，对偏振现象研究越深入就越有利于光的波动理论。这时，只要将惠更斯与托马斯·杨的“纵波”改成“横波”，那么其它问题就迎刃而解了。但是，马吕斯和布儒斯特在波动理论尚未做出这一改变之前，强烈的反对波动理论。托马斯·杨没有隐匿困难，更没有被困难所吓倒，1811年，他在给马吕斯的信中说：“你的实验证明了我所采用的理论不足，但是这些实验并没有证明它是错的”，六年后，他觉察到，若将声波看成与水波类似的横波，那么这个困难就可以得到较好的解决。1817年1月12日，他在写给阿拉果的信中说：“根据这个学说的原理，所有波都象声波一样是通过均匀介质以同心球面单独传播，在径向方向上只有粒子的前进或后退运动，以及伴随它们的凝聚与稀疏。显然波动说可以解释横向振动也在径向方向上以相等速度传播，但粒子的运动是在相对于径向的某个恒定方向上，而这就是偏振。”这样，托马斯·杨根据波动理论对偏振现象作了最初的解释。其后，菲涅耳与阿拉果更充分地验证并解释了它。

不过在二十世纪来临之时，这些观点面临了一些挑战。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对于光电效应用光子的概念来解释，物理学者开始意识到光波具有波动和粒子的双重性质。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”假说，他主张，“一切物质”都具有波粒二象性，即具有波动和粒子的双重性质。根据德布罗意假说，电子是应该会具有干涉和衍射等波动现象。1927年，克林顿·戴维森与雷斯特·革末设计与完成的戴维森-革末实验成功证实了德布罗意假说。

惠更斯和牛顿的早期光理论

最早的综合光理论是由克里斯蒂安·惠更斯所发展的，他提出了一个光的波动理论，解释了光波如何形成波前，直线传播。该理论也能很好地解释折射现象。但是，该理论在另一些方面遇见了困难。因而它很快就被艾萨克·牛顿的粒子理论所超越。牛顿认为光是由微小粒子所组成，这样他能够很自然地解释反射现象。并且，他也能稍显麻烦地解释透镜的折射现象，以及通过三棱镜将阳光分解为彩虹。

费涅尔、麦克斯韦和杨光理论

十九世纪早期由托马斯·杨和奥古斯丁·让·费涅尔所演示的双缝干涉实验为惠更斯的理论提供了实验依据：这些实验显示，当光穿过网格时，可以观察到一个干涉样式，与水波的干涉行为十分相似。并且，通过这些样式可以计算出光的波长。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在世纪末叶给出了一组方程，揭示了电磁波的性质。而方程得到的结果，电磁波的传播速度就是光速，这使得光是一种电磁波的解释被人广泛接受，而惠更斯的理论也得到了重新认可。

爱因斯坦的光电效应理论

1905年，爱因斯坦对光电效应提出了一个理论，解决了之前光的波动理论所无法解释的这个实验现象。他引入了光子，一个携带光能的量子的概念。

在光电效应中，人们观察到将一束光线照射在某些金属上会在电路中产生一定的电流。可以推断是光将金属中的电子打出，使得它们流动。然而，人们同时观察到，对于某些材料，即使一束微弱的蓝光也能产生电流，但是无论多么强的红光都无法在其中引出电流。根据波动理论，光强对应于它所携带的能量，因而强光一定能提供更强的能量将电子击出。然而事实与预期的恰巧相反。

爱因斯坦将其解释为量子化效应：金属被光子击出电子，每一个光子都带有一部分能量E，这份能量对应于光的频率ν：E=hν，这里h是普朗克常数（6.626 x 10-34 J s）。光束的颜色决定于光子的频率，而光强则决定于光子的数量。由于量子化效应，每个电子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高频率的光子（蓝光，而非红光）才有能力将电子击出。

爱因斯坦因为他的光电效应理论获得了1921年诺贝尔物理学奖。

实物粒子的波粒二象性

爱因斯坦提出光的粒子性后，路易·维克多·德布罗意做了逆向思考，他在论文中写到：19世纪以来，只注重了光的波动性的研究，而忽略了粒子性的研究，在实物粒子的研究方面，是否犯了相反的错误呢？1924年，他又注意到原子中电子的稳定运动需要引入整数来描写，与物理学中其他涉及整数的现象如干涉和振动简正模式之间的类似性，由此构造了德布罗意假设，提出正如光具有波粒二象性一样，实物粒子也具有波粒二象性。他将这个波长λ和动量p联系为：λ=h/p=h/mv；其中m为微粒（如电子）的质量，v为微粒的速度，h：普朗克常数。

这是对爱因斯坦等式的一般化，因为光子的动量为p = E / c（c为真空中的光速），而λ = c / ν。

德布罗意的方程三年后通过两个独立的电子散射实验被证实。在贝尔实验室Clinton Joseph Davisson和Lester Halbert Germer以低速电子束射向镍单晶获得电子经单晶衍射，测得电子的波长与德布罗意公式一致。在阿伯丁大学，G.P汤姆孙以高速电子穿过多晶金属箔获得类似X射线在多晶上产生的衍射花纹，确凿证实了电子的波动性；以后又有其他实验观测到氦原子、氢分子以及中子的衍射现象，微观粒子的波动性已被广泛地证实。根据微观粒子波动性发展起来的电子显微镜、电子衍射技术和中子衍射技术已成为探测物质微观结构和晶体结构分析的有力手段。

德布罗意于1929年因为这个假设获得了诺贝尔物理学奖。汤姆孙和戴维逊因为他们的实验工作共享了1937年诺贝尔物理学奖。

由于E=hv，这光照射到原子上，其中电子吸收一份能量，从而克服逸出功，逃出原子。电子所具有的动能Ek=hv-W0，W0为电子逃出原子所需的逸出功。这就是爱因斯坦的光电效应方程。

h称为普朗克常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份地进行的，计算的结果才能和试验结果是相符。这样的一份能量叫做能量子，每一份能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率。

数值约为：h=6.6260693(11)×10-34 J·s。经化简为：h=6.63×10-34J·s。

若以电子伏特(eV)·秒(s)为能量单位则为h=4.13566743(35)×10-15 eV·s

普朗克常数的物理单位为能量乘上时间，也可视为动量乘上位移量：{牛顿(N)·米(m)·秒(s)}为角动量单位由于计算角动量时要常用到h/2π这个数，为避免反复写 2π 这个数，因此引用另一个常用的量为约化普朗克常数（reduced Planck constant)，有时称为狄拉克常数(Dirac constant)，纪念保罗·狄拉克：h(这个h上有一条斜杠)=h/2π约化普朗克常量（又称合理化普朗克常量量子化，微观下的粒子，例如电子及光子，在一确定的物理性质下具有一连续范围内的可能数值。例如，一束具有固定频率 ν 的光，其能量 E 可为：有时使用角频率 ω=2πν ：许多物理量可以量子化。譬如角动量量子化

普朗克常数也使用于海森堡不确定原理。在位移测量上的不确定量（标准差） Δx ，和同方向在动量测量上的不确定量 Δp，有一定关系。还有其他组物理测量量依循这样的关系，例如能量和时间。

光和微观粒子的波粒二象性如何统一的问题是人类认识史上最令人困惑的问题 ，至今不能说问题已经完全解决。卢瑟福的α粒子散射实验证明物质的结构是核式的（这种模型被称为核式结构模型），原子如此，光子、电子、质子、大到天体都有自己的核心，都有绕核心运动的物质存在，每个核式结构体在运动中由于核式结构的特点，都做具有波动的直线运动，都有测不准的因素（不确定性原理）存在，都有量子化的物理特征，各有能级的存在，各有特定的能量吸收才可以发生跃迁。1926年M.玻恩提出概率波解释，较好地解决了这个问题。按照概率波解释，描述粒子波动性所用的波函数Ψ(x、y、z、t)是概率波，而不是什么具体的物质波；波函数的绝对值的平方|ψ|2=ψ*ψ表示时刻t在x、y、z处出现的粒子的概率密度，ψ*表示ψ 的共轭波函数。在电子通过双孔的干涉实验中，|ψ|2=|ψ1+ψ2|2=|ψ1|2+|ψ2|2+ψ1*ψ2+ψ1ψ2*，强度|ψ|2大的地方出现粒子的概率大 ，相应的粒子数多，强度弱的地方，|ψ|2小 ，出现粒子的概率小，相应的粒子数少，ψ1*ψ2+ψ1ψ2*正是反映干涉效应的项，不管实验是在粒子流强度大的条件下做的，还是粒子流很弱，让粒子一个一个地射入，多次重复实验，两者所得的干涉条纹结果是相同的。

在粒子流很弱、粒子一个一个地射入多次重复实验中显示的干涉效应表明，微观粒子的波动性不是大量粒子聚集的性质，单个粒子即具有波动性。于是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在双孔实验中双孔又是同时起作用的，因此，对于微观粒子谈论它的运动轨道是没有意义的。

由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵从的运动规律不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

薛定谔提出的量子力学基本方程 。建立于 1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场U（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数U不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。