牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 做曲线 的切线 ， ，则 与 轴交点的横坐标 ，称 为 的一次近似值。过点 做曲线 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得 的近似值序列，其中， 称为 的 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把 在点 的某邻域内展开成泰勒级数 ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 ，以此作为非线性方程 的近似方程，若 ，则其解为 ， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： 。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

function y=f(x)

y=f(x)；%函数f(x)的表达式

end

function z=h(x)

z=h(x)；%函数h(x)的表达式，函数h(x)是函数f(x)的一阶导数

end

x=X;%迭代初值

i=0;%迭代次数计算

while i

x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式

if abs(x0-X)＞0.01；%收敛判断

X=x0;

else break

end

i=i+1;

end

fprintf(' %s%.4f %s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果

求一元3次方程3个解的程序：

Python代码以实例展示求解方程 的根。

Java实现开平方的牛顿迭代法. 求的算术平方根就是求 的正根, 得迭代公式: . 代码中取初始值 , 误差控制在 .

program newton

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n＞2时）。

在n＞2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。