等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性质,同时具有一般三角形所不具备的特殊性,这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值,也是研究其他三角形和多边形的基础. 利用等腰三角形的轴对称性,“三线合一”等性质探求解题途径

英文名：right triangle

（1）直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。又叫Rt三角形。

（2）直角三角形的性质：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半；且三边比为1比根号3比2；

（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；

（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2(勾股定理)；

（6）直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径.

( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。

（8）直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

(3)直角三角形的判定：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；

（2）一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；

（3）若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）；

（4）若三角形30°内角所对的边是某一边的一半 ,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；

（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形.

（4）直角三角形角的性质

若直角三角形ABC中∠C=90°，则

sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos（90°-A）=sin（180°-A）

cosA=sin（90°-A）=-cos（180°-A）

tanA=-tan（180°-A）

对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90°

sin30°=cos60°=1/2

sin45°=cos45°=√2/2

sin60°=cos30°=√3/2

sin75°=cos15°=（根号6+根号2）/4 cos75°=sin15°=（根号6-根号2）/4

tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3

sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大

英文名：isosceles triangle

(1)等腰三角形的定义：

有两边相等的三角形是等腰三角形

（2）等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)

7等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

（3）.等腰三角形的判定：

有两条边相等的三角形是等腰三角形

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）

在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。

英文名：equilateral triangle

等边三角形也称正三角形。

(1)等边三角形的定义：

有三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。

(2)等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊）

1等边三角形的内角都相等，且为60度

2等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

3等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线

（3）等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）

（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）

（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 ,且每个角都为60°

（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45度，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。

等腰直角三角形的边角之间的关系 ：

（1）三角形三内角和等于180°；

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.　（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.

（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

注意！①三角形的内心、重心都在三角形的内部

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边　中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形等。

黄金三角形分两种： 一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2. 另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2

黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线．

黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。则大三角形的边长

为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：

B=2a+b

而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：

2ab

可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图1）。故命题错。

另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

同样可以证明：

A=2b+a

2b

a

可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。故命题错。

事实上，勾为a，股为b=2a的直角三角形可以满足命题要求。

显然，弦c=√a2+b2 =√5 a

大三角形的对应边：

A=√5 a=c

B=2A=2c

C=√5 *(√5a)=5a=2b+a

满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的（图3）。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。

顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。

勒洛三角形，也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由Franz Reuleaux,一个十九世纪的德国工程师命名。