线性系是代数几何中最基础的研究对象之一。线性系是代数簇上的一族线性等价的有效除子，它为射影空间所参数化。

线性系是代数簇上的一族线性等价的有效除子，它为射影空间所参数化。

设 X 是域 k 上非奇异代数簇， 是 X 上的可逆层， 是 的整体截面的空间， 是一个有限维子空间，如果 ,则由 的截面零点所确定的除子是线性等价的有效除子。L 的一维子空间构成的射影空间 就是一个线性系，它给出了上述除子的参数化。如果 ，则称线性系 为完全的（complete），同样记为 。

用除子的语言可以等价地描述为：若 D 是 X 的一个除子， 是 X 上的有理函数，满足 则称除子集合

为线性系。若 包含所有与 D 线性等价的有效除子，则称 是 D 的完全线性系。

设 是 L 的一个基，通过

可定义一个有理映射 。通常就说 由线性系 定义的。

对于 ，线性系的固定分支（fixed component of a linear system）是指 X 上的一个有效除子 ，使得对任何 都有 ，其中 是一个有效除子。当除子 D 取遍 时，除子 构成一个线性系 ，它与 有相同维数。映射 与 是重合的。所以当考虑 时可以假设 没有固定分支。在这种情形， 恰在 的基本集上没有定义。

比如D和除子E线性等价，D=div(s)， E=div(t), 那么 f=s/t 恰好是个半纯函数。

D的一个线性系， 就是指和D线性等价的一些 有效除子 构成的集合， 并且这些有效除子对应的截面全体恰好构成一个线性空间。D有很多线性系，其中有一个最大的线性系， 记为|D|, 它包含了其他任何一个线性系， 我们称这个线性系为D的完全线性系。换句话说，|D|的所有元素对应的截面恰好构成了最大的线性空间。

有的时候，人们也把线性系中的有效除子直接用截面来替代，这样我们就可以把线性系直接看成这些截面张成的线性子空间。 由此我们可以定义X到射影空间的映射。

比如|D|是由截面 s0,s1,...,sn张成的线性系。于是可定义映射(其中Pn是射影空间, [...]是射影齐次坐标)：Φ: X→Pn， x→[s0(x), s1(x),...,sn(x)]。有趣的是，这个映射和选取的基 s0,s1,...,sn无关。 当然Φ在某些点上可能没有定义，所以我们称Φ为有理映射。

上面是用完全线性系定义的，也可用其他的线性系定义。反过来， 任何有理映射都是某个除子D的线性系定义的类似上述的映射。这样，研究除子就有了很重要的几何意义。