虚数单位（Imaginary unit）是可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算，且其平方等于-1的数。虚数单位的幂具有周期性。欧拉于1748年在其《无穷小分析理论》中提出用i表示虚数单位，1801年经高斯系统使用后被普遍采用。

虚数单位“”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。

高斯第一个引进术语“复数”并记作a+b。

“虚数”一词首先由笛卡尔提出。

早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+b，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。

最早把a+b用向量表示的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。

符号来源于法文Imkginaire（虚）的首字母，复数集来源于英文Complex number（复数）的首字母。

引进一个新数，并规定：

虚数单位定义为二次方程式 的两个解中的一个解。这方程式又可等价表达为

所以虚数单位同样可以表示为：

虚数单位有时记为。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。

公式仅对于非负的实数才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数，例如：不应使用，而应使用。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，只需要假设是一个未知数，然后依照的定义，替代任何 的出现为-1的更高整数幂数也可以替代为，1或，一般地，有以下的公式：

其中mod4表示被4除的余数。

方程 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭复数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解，那么（不等于）也是一个解，由于这个方程是唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然和在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的换成，而把换成，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

许多实数的运算都可以推广到，例如平方根、幂、对数和三角函数。

平方根

以i为底的对数

余弦

正弦