覆盖维数(covering dimension)是拓扑空间的一种维数。拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。维数是刻画几何图形拓扑性质的一种数。通俗地说，它是确定整个图形中点的位置所需要的坐标(或参数)的个数。点的维数设为0，直线、平面和日常所指的空间的维数依次为1，2，3。

覆盖维数(covering dimension)是拓扑空间的一种维数。首先定义一个集族阶的概念。设A是集合X的子集族。若A中存在具有非空交的n+1个集合，则上述n的最大值称为A的阶；若上述n的最大值不存在，则称A的阶为∞。设X为吉洪诺夫空间，n表示大于或等于-1的整数。则：

1.当X的任意有限的函数开覆盖都具有阶数不超过n的有限的函数开加细时，规定dim X≤n。

2.当dim X≤n，并且dim X≤n-1不成立时，规定dim X=n。

3.当对于任意自然数n，dim X≤n皆不成立时，规定dim X=∞。

于是对于任意吉洪诺夫空间X确定的dim X，称为X的切赫-勒贝格维数或覆盖维数。若空间X与Y同胚，则dim X=dim Y。

拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

刻画几何图形拓扑性质的一种数。通俗地说，它是确定整个图形中点的位置所需要的坐标(或参数)的个数。点的维数设为0，直线、平面和日常所指的空间的维数依次为1，2，3。19世纪以前的几何学仅从事三维或低于三维图形的研究。19世纪以来高维研究兴起，如闵科夫斯基空间就是三维欧氏空间加上时间变量的四维空间。1878年德国数学家G.康托尔证明了一条线段上的点能够和正方形的点建立一一对应，1890年意大利数学家皮亚诺根据法国数学家若尔当的曲线定义构造出能填满一个正方形的曲线，这些都使数学家认真考虑维数的定义。

1912年法国数学家庞加莱给出维数的一个归纳定义：一个连续统叫做n维的，如果它能分成两部分，其公共边界是由n-1维的连续统组成的。1913年荷兰数学家布劳威尔改进了庞加莱的定义，给出大归纳维数定义。此后门格(1923)和乌雷松(1925)得到另一种小归纳维数定义，并定义曲线为一维连续统。连续统是闭的连通集，由此排除了填满平面域或空间的曲线。门格的《维数论》(1928)给出有关维数的许多基本定理。此外，捷克数学家切赫定义了覆盖维数，由于应用了法国数学家勒贝格提出的方法，因此这种维数也被称为勒贝格维数。原苏联数学家П.С.亚历山德罗夫定义了同调维数(1928—1929)，建立起同调维数论。以后波兰数学家胡雷维奇对维数理论做出较大贡献，他与沃尔曼合著的《维数论》(1941)是维数理论的经典著作。近年来无限维空间的维数论得到重视，已开始成为维数论的中心课题。

传统几何学中的维数都是整数。随着人类对客观世界认识的深入，对于某些物体的表面形状，例如山脉外形、大气湍流、河道水系、人体血脉等不规则的特征描述，都要求几何表述手段进一步精确化，产生了分数维几何学。1904年瑞典数学家科赫(H.Vonkoch)构造了一种雪花状曲线，封闭曲线的长度趋于无穷大，但所围面积却是一个定值，其极限曲线是处处连续的，但处处无导数存在。后来人们又类似地构造了C曲线、谢尔品斯基垫片等图形。1967年美国数学家芒代尔布罗(B.B.Mandelbort，1924—)开始从数学理论上研究分数维现象，1973年正式提出分形几何和分数维概念，来定量地度量事物的不规则性和破裂程度，以及在不同的比例尺下事物的自相似性。目前确定一个几何对象的维数，一般用豪斯多夫—贝西科维奇维数DHB，即把一个几何对象的线度(线段长度与生成线两端的距离之比)放大L倍，而它本身成为原来的K倍，则该对象的维数是DHB=lnK/lnL。由此可以得出科赫雪花状曲线的维数DHB=ln4/ln3=1.2618。数学家正在建立分数维几何的理论基础，试图给出计算递归集维数的一般方法，并为此发展一套严密的数学体系，分数维研究正蓬勃发展。

集族是一种特殊的集合。以集合为元素的集合称为集族。.例如，集A的幂集P(A)是一个集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花体字母A，B，C等表示。取A为标号集，A到集族A的一一对应(双射)为f：a→Aa，则集族A可记为{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。当A为线性序集{…，a，…，b，…，c，…}时，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}称为集列。

苏联数学家、地球物理学家。生于格扎兹克[Гжатск，现在的斯摩棱斯克州](Смоленская обл.)内]。1927年毕业于莫斯科大学，是П.С.亚历山德罗夫的学生。1936年以后在莫斯科大学和苏联科学院应用数学研究所工作。1936年获得物理数学博士学位，同年成为教授。1966年被选为苏联科学院院士。吉洪诺夫的数学研究涉及面很广，从最抽象的纯粹数学领域到直接应用于生产技术的各数学学科，他都做出了贡献。在集合论拓扑学中，引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。还研究了数学物理，带小参数的微分方程以及地球物理学中的各种问题。著作有《数学物理方程》(Уравнения математитческой физики，1953)、《不适定问题的解法》(Методы решения некорректныхэадач，有中译本，地质出版社，1979)等。

捷克斯洛伐克数学家。生于波希米亚的斯特拉切夫。卒于布拉格。父亲是职业警察。1912—1914年在布拉格的查尔士大学学习数学。1920年获布拉格大学博士学位。1921—1922年获奖学金到都灵跟富比尼(G.Fubini)学习射影微分几何。1922年任布拉格大学副教授。1923年任布尔诺大学数学教授。1945年去查尔士大学执教，在那里先后创办了捷克斯洛伐克科学院数学研究所和查尔士大学数学研究所。他是捷克斯洛伐克科学院院士，分别在1951年和1954年两次荣获捷克斯洛伐克国家勋章。

切赫主要研究拓扑学和几何学。1921—1930年活跃于微分几何领域，是射影微分几何学的奠基人之一。1932年开始研究任意空间中的一般同调论、簇论和对偶理论，是当时甚有影响的组合拓扑学家。1937年他详尽研究了一种新的空间——后被称为切赫双紧致包络，他的这一工作为一般拓扑学和一些泛函分析分支提供了重要的工具。1945年以后研究射影空间中的对应问题。此外他还研究维数理论和连续空间理论。平时也很关心改进中学数学教学。

曾和富比尼合著《射影微分几何》(两卷集， 1926—1927)，还著有《拓扑空间》(Topological Spaces， 1959)等。

法国数学家。生于博韦，卒于巴黎。1894—1897年在巴黎高等师范学校学习，是E.波莱尔的学生。1902年在巴黎大学获得博士学位。以后在雷恩大学、普瓦捷大学和巴黎大学执教，1922年任法兰西学院教授，同年当选为法国科学院院士。勒贝格的主要贡献在测度论和积分论方面。他是勒贝格积分理论的创始人，其博士论文《积分、长度与面积》(1902)改进了E.波莱尔的测度理论，建立了“勒贝格测度”和“勒贝格积分”等概念，他采取先定义测度后定义积分的方法，在定义积分时又采取划分值域而不是划分定义域的方法，使积分归结为测度，从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。他的工作是现代积分论的开端，并且成为傅立叶级数理论和位势论发展的转折点。他在《积分与原函数的研究》(1904)中，证明了有界函数黎曼可积的充要条件是其不连续点的集合为零测度集，从而解决了黎曼可积性的问题。他还指出了在勒贝格积分意义下微积分学基本定理的条件，研究了曲线可求长的理论，并发现了有界变差函数是几乎处处可微的事实。在这些工作的基础上，他又把微分、积分理论推广到n维空间，推进更广的积分概念的发展。勒贝格晚年从事数学教育、初等几何和数学史的研究。他的论文收集在《勒贝格全集》(5卷)之中。