(3)对于任意两个时刻t1
(4)参数空间为T={t|t≥0}，状态空间为I={0,1,2，···}.
泊松过程
定义
定义1 满足以下条件的计数过程N(t)被称作强度为 的泊松过程：
(1)失效过程N(t)有平稳独立增量。
(2)在任意时间间隔s内，失效数量服从均值为 的泊松分布，也就是说
(3)初始条件为N(0)=0。
这一模型也叫做齐次泊松过程，这也暗示了故障率 不由时间t决定。也就是说，在时问间隔(t，t+s]中的失效数并不由当前时刻t决定，而是由时间间隔s唯一确定。如果一个计数过程在不相交的时问间隔中的事件数是相互独立的，便说它拥有独立增量。
其中
如果X(t)服从泊松分布，那么泊松分布的方差为
这一结果表明泊松增量过程是
协方差平稳的。接下来将给出泊松过程的几条性质。
性质
性质1 均值分别为 的独立泊松过程 的和也是一个泊松过程，其均值为 。换句话说，独立的泊松过程的和也是泊松过程，且该泊松过程的均值为各独立泊松过程的均值之和。
性质2 均值分别为 和 的独立泊松过程N1(t)和N2(t)的差不是泊松过程。它的概率质量函数为
其中， 为k阶修正
贝塞尔函数(Handbook 1980)。
性质3 如果对均值为 的泊松过程N(t)进行过滤，使得不完全计入每一个发生的事件．则该过程以恒定的概率p被计数。这样，该过程就变为了均值为 的泊松过程。
性质4 令N(t)为泊松过程，Yn为一组
独立同分布的随机变量，同时也关于N(t)独立，则将可以用以下方式表示的随机过程X(t)称为
复合泊松过程：
更新过程
更新过程是更一般情况下的泊松过程，该过程的到达间隔时间或失效间隔时间不一定服从指数分布。为了方便，将事件的发生称为一次更新，将到达间隔时间称为更新周期(renewal period)，将等待时间称为更新时间(renewal time)。
定义2 计数过程N(t)表示时间间隔(0，t]之间事件发生的总次数，若失效间隔时问是独立相同分布的随机变量，则称N(t)为
更新过程。
在时间t之前恰好发生n次失效的概率为
需要注意的是，失效间隔时间为 ，因此发生n个失效的时刻Wk为
并且
因此
其中，Fn(t)为第n次失效时间的
累积分布函数，n=0，l，2，…。