概形是代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，OX)是一个环空间，其拓扑空间X有一个
开覆盖{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同构于仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(这样的覆盖称为仿射开覆盖).概形间的态射就是局部环空间的态射.概形的范畴是局部环空间范畴的子范畴.若概形X有一个仿射开覆盖{Xi}，使得每个仿射概形都是
诺特概形、
既约概形、
正规概形或
正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的。这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质。若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的。
在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形。带有态射f：X→S的概形X称为S概形。若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形。显然任何概形都是Z概形。给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形XS′=X×SS′，称为S概形X的基扩张。与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念.S概形与态射f：X→S密切相关。不同性质的态射就给出了不同的S概形。例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×SX是闭态射，则称f是分离态射；若存在S的一个仿射开覆盖{Ui}={Spec Bi}，使得每个f(Ui)都有一个有限仿射开覆盖{Vij}={Spec Aij}，并且Aij都是有限生成Bi代数，则称f是有限型的；若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，则称f是有限态射。有限态射是仿射态射。代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的。
设R是一个有单位元的交换环，如果R的每个
理想链I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整数n，使得对任何i≥n，Ii=In，则称R是一个诺特环。设R是一个交换环，R的理想Q称为
准素理想，如果Q≠R，对任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，则必存在正整数n，使得b∈Q。设I是交换环R的理想，I的根(或称幂零根)是包含I的所有素理想之交，记作或radI。准素理想的根是一个素理想，这个素理想称为与Q结合的素理想，或Q是属于这个素理想的准素理想。交换环R中的理想I称为有准素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是准素理想。如果每个Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，则称这样的准素分解是既约的。一个有单位元的交换环R是诺特环当且仅当R的每个理想是有限生成的，当且仅当R满足理想的极大条件：对R的任一个理想的非空族{Iλ}，其中必存在极大元I，即若J∈ {Iλ}，I⫅J，则I=J。含幺交换环是诺特环当且仅当每个素理想是有限生成的。诺特环R的每个理想I，I≠R，有准素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是两个既约准素分解，其中Ai是属于Pi的准素理想，Bj是属于Qj的准素理想，则n=m，而且适当重排顺序后，Pi=Qi。环R的非空子集S称为R的一个乘闭子集，如果对任何a，b∈S，ab∈S。设S是交换环R的一个乘闭子集，在集合R×S上定义一个关系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0，这个关系是一个等价关系，(r，s)所在等价类记作r/s，R×S的全体等价类做成的集合记作SR，在SR中定义则SR做成一个有单位元的交换环。SR称为R对于S的分式环。一个有单位元的交换环称为局部环，如果它只有一个极大理想。设R是有单位元的交换环，P是R的
素理想p。设S是诺特环R的乘闭子集，则SR也是诺特环。设R是—个诺特环，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多项式全体做成的环，则R[x1，…，xn]也是诺特环，这个结论称为
希尔伯特基定理。设R是一个诺特环，R[[x]]是R上文字x的
形式幂级数全体做成的环，则R[[x]]也是诺特环。
覆盖是数学的一个重要概念。这里指一类节点子集。具体地说，图的一个节点子集使该图的每一条边都与这个子集中一个节点关联，称这样的节点
子集为覆盖集，也称点覆盖集，简称覆盖。.图G的最小覆盖，也称最小点覆盖，是指在图的所有覆盖中，节点数最少的覆盖.G的最小覆盖的节点数称为G的覆盖数，或点覆盖数，常记为β(G)。一个图称为覆盖临界图，或点覆盖临界图，若从这图上去掉任何一条边后，所得的图的覆盖数都小于原图的覆盖数。设有一个最小覆盖M，若对于它的任何一个子集M′，与M′中节点相邻的不在M中的节点的数目总不比M′的节点数少，则称M为一个外部最小覆盖或外最小点覆盖。不是任何一图都有外最小覆盖。事实上，一个图有外最小覆盖当且仅当它有一个点核，或边核。
德国女数学家.生于埃尔朗根的一个犹太数学世家，父亲马克思·诺特(Noether，Max)为埃尔朗根大学数学教授.诺特15岁时毕业于埃尔朗根女子中学，曾当过中学外语教师.1900年，考入埃尔朗根大学旁听(当时的大学均不准女生在校注册)，选修数学、历史和外语.1903年，她转入
格丁根大学继续钻研数学，并得到了闵可夫斯基(Minkowski，H.)、布卢门塔尔(Blumenthal)、克莱因(Klein，(C.)F.)和希尔伯特(Hilbert，D.)等名家的指导.1904年，返回埃尔朗根大学专攻数学.1907年获数学博士，导师为哥尔丹(Gordan，P.A.)，论文题目是《三元双二次型不变量的完备系》.1916年，应希尔伯特邀请，到格丁根大学任“私人讲师”，1919年，终于成为了格丁根大学的第一名女子讲师.1922年，她以自己的数学才能获得了教授称号，随后领导了一个数学讨论班，取得了一系列的重要成果.1928年，应亚历山德罗夫(Александров，А.Д.)等人的邀请，到莫斯科讲学一年.1932年受到在
苏黎世召开的国际数学家大会的隆重欢迎，诺特的学术声誉达到了顶点.1933年，希特勒(Hitler，A.)上台后，她被迫迁居美国，在布林马尔学院任教，并去普林斯顿高等研究所讲学.1935年4月14日，诺特死于癌症.
诺特一生主要从事抽象代数的研究，共发表论文37篇.1921年，她的经典性论文《环中的理想论》的发表，标志着抽象代数现代化的开端，同时带出了一批有影响的数学人才.她还为爱因斯坦广义相对论给出了一种纯粹数学的严格方法，提出统一的数学概念，促进了相对论和基本粒子物理学的发展.此外，她在拓扑学的研究中亦有重要成果.
诺特终身未婚，将自己的全部精力奉献给了科学事业，为女性登上抽象科学高峰树立了榜样.