数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。

设T为希尔伯特空间的紧自伴算子，则T只有可数个互异本征值。若{λ1,λ2,...}为T的互异本征值，Pn为从到ker(T-λn)的投影算子，则PnPm=PmPn=0若n≠m，每个均为实数，且

级数在由的范数定义的度量下收敛到T。

可分希尔伯特空间上的正规算子为可对角化算子。

设A为可分希尔伯特空间的正规算子。则存在唯一的的定义在σ(A)的博雷尔σ代数的值为的投射算子的测度μA，且满足

另外，对σ(A)中任何可测集E，Range(μA(E))在A与A*下不变。

（形式1）设A为可分复希尔伯特空间H上的自伴算子，则存在唯一定义于σ(A)取值于B(H)的投射测度μA满足。

（形式2）设A为可分复希尔伯特空间H上的自伴算子，则存在σ有限测度μ，积分直和，与酉映射U:H→L2(X,μ)，满足U(Dom(A))={|}以及对任何s∈U(Dom(A))，UAU-1(s)(λ)=λs(λ)。

（形式3）设A为可分复希尔伯特空间H上的自伴算子，则存在σ有限测度空间(X,μ)，X的可测实值函数h，与酉映射U:H→L2(X,μ)，满足U(Dom(A))={ψ∈L2(X,μ)|hψ∈L2(X,μ)}以及对任何ψ∈U(Dom(A))，UAU-1(ψ)(x)=h(x)ψ(x)。

埃尔米特矩阵

从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者复内积空间V上的埃尔米特矩阵A开始；埃尔米特条件意味着

对于所有V的元素x, y成立。

一个等价的条件是A = A，其中A是A的共轭转置。若A为实矩阵，这等价于A = A（也即，A是对称矩阵）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子A的特征向量是（非零）向量x使得对于某个标量λ成立。值λ是相应的特征值。

定理：存在V的标准正交基，由A的特征向量组成。每个特征值都是实数。

证明

这里给出复数情况的证明概要。

根据代数基本定理，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若A为埃尔米特矩阵，有特征向量e1，考虑子空间K = span{e1}，也即e1的正交补空间。根据埃尔米特性，K为A的不变子空间。在K上采用同样的论证表明A有特征向量e2 ∈ K。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 n 维欧几里得空间上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取A的特征向量为标准正交基，A在这个基上的表示是对角的。等价地，A可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的谱分解。令

为对应于特征值λ的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。V是空间Vλ的直积，其中下标取遍特征值。令Pλ为到Vλ上的正交投影，而λ1,..., λm 为A的特征值，谱分解可以写作：

谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。

正规矩阵

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令A为有限维内积空间上的算子。A称为正规算子若A A = A A.可以证明A正规当且仅当它可以酉对角化：根据舒尔分解，A= U T U，其中U是酉矩阵而T是上三角阵。 因为A正规，T T = T T.所以T必定是对角的。反过来也是显然的。

换言之，A正规当且仅当存在酉矩阵U使得

其中Λ是对角矩阵，其各项为A的特征值。U的列向量是A的特征向量，而且他们是单位正交的。和埃尔米特的情况不同，Λ的对角项未必为实数。

设E为欧几里得或埃尔米特向量空间. E的自同态f称为正规的，如果它有伴随f，且二者是可交换的： ff=f* 。

当E是欧几里得向量空间时，对称自同态、反对称自同态、正交自同构皆是正规自同态。

同样，当E是埃尔米特向量空间时，埃尔米特自同态、反埃尔米特自同态、酉自同构皆是正规自同态.设E为非零有限维的埃尔米特向量空间.为使E的自同态f是正规的，必须且只须存在E的由f的特征向量构成的标准正交基. 换言之，任一正规自同态在标准正交基下是可对角化的(谱定理)。

一般来讲，希尔伯特空间中的关于紧自伴算子的谱定理和有限维的基本一样。

定理：设A为希尔伯特空间V上的紧自伴算子。存在V的标准正交基，由A的特征向量构成。每个特征值都是实数。

对于埃尔米特矩阵，关键在于存在至少一个非零向量。要证明这一点，不能靠行列式来表明特征值的存在，而是要使用极大化论证，类似于特征值的变分表述。上述谱定理对于实或虚希尔伯特空间都成立。

如果紧性假设被取消，则未必每个自伴算子都有特征。

接下来的推广是希尔伯特空间V上的有界自伴算子A。这样的算子可能没有特征值：例如令A为L[0, 1]上乘以t的算子，也即

定理：令A为希尔伯特空间H上有界自伴算子。则存在测度空间(X, Σ, μ)和X上实值可测函数f，以及酉算子U:H → Lμ(X)使得

其中T是乘法算子：

这是称为算子理论的泛函分析这个巨大的研究领域的起点。

对于希尔伯特空间上的有界正规算子也有一个类似的谱定理。结论中唯一的区别在于可能是复值的。

谱定理的另一个表述形式将算子表达为在算子谱上的坐标函数关于投影值测度的积分。当该正规算子是紧的，这个版本的谱定理退化为上面的有限维谱定理，只是算子表达为可能为无限多的投影的线性组合。

很多数学分析中的重要线性算子，例如微分算子，是无界的。对于这类情况的自伴算子也有一个谱定理。例如，任何常系数微分算子酉等价于乘法算子。事实上，实现这一等价的酉算子就是傅立叶变换；该乘法算子是一类傅立叶乘子。