在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）是德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出的重要不等式，该不等式表明Lp空间是一个赋范向量空间。

闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位数学家希尔伯特（Hilbert ）的家仅一河之隔。闵可夫斯基有两个哥哥，他是幺弟。大哥 Max 在俄国时因为种族歧视，不能进学校读书，后来也一直没有受正规教育，长大后与他父亲一起经商，继承父业成为一个成功的商人。二哥就是发现胰岛素和糖尿病关联的著名医学家 Oscar Minkowski，人称“胰岛素之父”。闵可夫斯基本人则因数学才能出众，早有神童之名，后来更是优秀的数学家。他们兄弟三人都十分杰出，在Konigsberg曾经轰动一时。

闵可夫斯基的主要工作在数论、代数和数学物理上。在数论上，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国大奖中，Minkowski深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的论著。因为Gauss曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。这样一来，原题就很容易从更一般的理论中得出，Minkowski交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

设S是一个度量空间， ， ，那么 ，我们有：

如果 ，等号成立当且仅当 ， 或

闵可夫斯基不等式是 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

其中 ，且 ；若 ，则不等式的≤变为≥ 。

我们考虑 的p次幂：

（用三角形不等式展开 ）

（用赫尔德不等式）

=

（利用p=qp−q，因为 ）

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:

因为 ，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

假设 和 是两个测度空间， 是积空间上的可测函数，则

当 是 上的计数测度时，令 ， ，一般形式即为

对于任意 ，只要随机变量X和Y有r阶绝对矩，则：

当 时，有：

定理 设 是[a,b]上正的可积函数， ，则：

证明 由假设知所涉及的积分都是可积的，将区间[a,b]n等分， ，得到n个子区间 ，在每个子区间上分别任取一点，分别为 ，则：

由闵可夫斯基不等式知：

因此有：

令 ，由函数的可积性得：

证明完毕。