霍赫希尔德上同调群是同调代数中的一种上同调群。

设A为上代数，M为A上双模。定义

C0(A,M)=M，为A的取值于 M的n+1线性泛函。

则C*(A,M)=为A的取值于M的霍赫希尔德上链复形。

其中微分算子δ定义为

(δm)(a)=ma-am，

(δf)(a1,...,an+1)=a1f(a2,...,an+1)++(-1)n+1f(a1,...,an)an+1，

其中m∈C0(A,M)，f∈Cn≥1(A,M)。

可证明δ2=0。故C*(A,M)的上同调为A的取值于M的霍赫希尔德上同调群H*(A,M)。

设k为交换环，R为k上代数。则R的霍赫希尔德上同调为的对偶的上同调。

定义函子H0(A,-)从左模范畴到复线性空间范畴为

则霍赫希尔德上同调为Hom(A,-)或H0(A,-)的左导出函子，故有。

当n=0时，霍赫希尔德0上闭链为H0(A,M)={m∈M|ma=am，对任何a∈A}。

当n=1时，霍赫希尔德1上闭链为导子，即线性映射f:A→M，满足f(ab)=af(b)+f(a)b；1边缘链为内导子 ，故H1(A,M)为外导子组成的空间 。

当n=2时，设A含单位元，A对M的阿贝尔扩张为代数正合列0→M→B→A→0

其中B含单位元的代数，M拥有平凡的代数乘法。设E(A,M)为阿贝尔扩张同构类的集合，有自然双射。设s:A→B为投射B→A的线性分裂，为曲率，对A中任意a,b定义为f(a,b)=s(ab)-s(a)s(b)。则f为霍赫希尔德2上闭链，且与分裂s的选取无关。对任意2上闭链，可定义B=A⊕M的乘法(a,m)(a',m')=(aa',am'+ma'+f(a,a'))，可证明当且仅当f为2上闭链时满足结合律。则对2上闭链f的扩张为0→M→A⊕M→A→0。

形变复形

当M=A时，有双模结构a(b)c=abc。此时C*(A,A)称为形变复形或Gerstenhaber复形。

当M=A*=Hom(A,)时，定义双模结构为(afb)(c)=f(bca)。该双模与循环上同调有关。

利用等同

故微分算子δ变为b

将C*(A,A*)记为C*(A)，H*(A,A*)记为HH*(A)。

HH0(A)={f:A→k|f(ab)=f(ba)，对任何a,b∈A为A的迹空间。

HH0（）=，HHn≥1（）=0。

与非交换几何的联系

霍赫希尔德上同调与循环上同调的研究多集中于R为交换代数，且能被视为流形或抽象簇X上的光滑函数的情况。故霍赫希尔德上同调与循环上同调与X的德拉姆上同调有密切联系。