在数学中， 黎曼映射定理是复分析最深刻的定理之一，也是复变函数几何理论最基本、最重要的定理，此定理分类了C的
单连通开子集。
黎曼在他1851年的博士论文中陈述了这个结果，但其证明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年发表了第一个完整证明。该定理是复变函数几何理论最基本、最重要的定理，是几何函数论的基础
2）定理中对 的条件极宽松；举例明之， 的边界可能是
碎形曲线，但 仍可透过
共形映射映至单位圆盘，这在直观上是很难想像的。
3）此定理对 时即告失效：环型区域（形如 ）之间的共形映射仅有
反演、
缩放与
旋转。
给定 和 ，我们希望构造一个函数 ，它把 映射到单位圆盘，把 映射到 。在这个证明概要中，我们假设 是有界的，且其边界是光滑的，就像
黎曼所做的那样。记
其中 是某个（待确定的）
全纯函数，其实数部分为 ，虚数部分为 。于是显然z0是f的唯一一个零点。我们要求对于 的边界上的 有 ，因此我们需要在边界上有 。由于 是全纯函数的实数部分，我们知道 一定是一个
调和函数，也就是说，它满足
拉普拉斯方程。
于是问题变为：存在某个实值调和函数 ，对所有的 都有定义，且具有给定的边界条件吗？
狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，
全纯函数的
柯西-黎曼方程便允许了我们求出 （这个论证依赖于 是单连通的假设）。一旦构造了 和 ，我们还需要验证所得到的函数 确实满足所有需要的性质。