Riemann-Roch(黎曼-洛赫)定理 是代数几何理论中最重要的定理之一这个定理最早是建立在代数曲线上的，后来被很多数学家都考虑过将它推广到高维的情形，最终是德国数学家Hirzebruch完成了一次推广，并由Grothendieck完成了最一般的结果。这个定理在数论上也有相应的推广。

主要内容

我们这里先讲曲线上黎曼-洛赫定理。

设C是代数曲线， D是C上的除子，K是C上的典范除子，g是C的亏格。

我们记上同调h^0(D)=dim |D| -1, 其中|D|是D的完全线性系，它是一个射影空间， dim |D| 是它的射影维数（即拓扑维数）。

h^1(D)=h^0(K-D),

定义示性数χ(D)=h^0(D)-h^1(D).

特别的，我们有h^0(O)=h^1(K)=1,h^1(O)=h^0(K)=g, 从而χ(O)=1-g.

代数曲线上的Riemann-Roch定理：

χ(D)=χ(O)+deg D.

这里deg D 是D中的点的个数(带重数的点重复计算)。

利用黎曼洛赫定理，可以解决很多经典代数曲线的有趣问题, 比如Cliifford定理。

同样，代数曲面上也有类似的定理。

χ(D)=χ(O)+1/2*(D-K)D,

这里D是曲面上的除子，K是典范除子。 示性数 χ(D)=h^0(D)-h^1(D)+h^2(D)， 特别地有，h^2(D)=h^0(K-D).

一般说来，曲面情形中h^1(D)是很难计算的。 如果一个定理可以告诉你什么时候h^1(D)=0,那么这样的定理就叫做消失定理（也成消灭定理、淹没定理）。