2的平方根是一个无理数，是单位正方形的对角线长d与其边之比。

公元前500年左右，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的一名成员发现，单位正方形的对角线长d与其边长是不可通约的，即，d与边长的比值不是有理数，由毕达哥拉斯定理及图1.14可得

这表明。用现代术语来说，这位古希腊人发现了的无理性。这一发现破坏了毕达哥拉斯学派宇宙和谐的美妙图景，引发了一场危机。（即第一次数学危机）

纸张尺寸在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，在1922年通过，并将尺寸冠以编号例如A4、B5等等。此标准源自德国，定义了A、B、C三组纸张尺寸，C组纸张尺寸主要用于信封。另外，有些国家也有自己的标准，如美国、日本。在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸。在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性。国际标准(ISO 216)

早在1786年，一位德国的科学家利希滕贝格(Georg Christoph Lichtenberg)就发现长宽比为的矩形具有许多特点。在20世纪初期Walter Porstmann将此概念应用在一系列纸张尺寸的制定。随着各国逐渐采用，后来此标准被定为国际标准（ISO 216）。此标准的特色是纸张尺寸的长宽比均为(约为1.4142)。同系列但不同尺寸的纸张，其几何比例相同，因此可以直接缩放影印而不会造成纸面图案有边缘裁切的问题。

A的制定基础首先是求取一张长宽比为且面积为1平方米(m2)的纸张。因此这张纸的宽长分别为841毫米和1189毫米(长宽比为:1)，并且编号为A0。若将A0纸张的长边对切为二，则得到两张A1的纸张，其宽长均为594毫米和841 毫米。依此方式继续将A1纸张对切，则可以依序得到A2、A3、A4等等纸张尺寸。在制定标准时，尺寸均以整数为准，因此对切的纸张尺寸若带有小数(小于1 毫米)则会舍入计算。

B系列的制定基础首先是求取宽边的长度为1米且面积为平方米(m2)的纸张。因此这张纸的宽长分别为1000 毫米和1414毫米(长宽比为:1)，并将其编号为B0。若将B0纸张的长边对切为二，则得到两张B1的纸张，其宽长均为707毫米和1000 毫米。依此方式继续将B1纸张对切，则可以依序得到B2、B3、B4等等纸张尺寸。和A系列相比，B系列的纸张面积是同号A系列的倍，例如B4纸张面积是A4的倍。

C系列的制定基础是将A系列和B系列的尺寸作几何平均而求得的。例如C4的纸张尺寸是A4和B4尺寸的几何均，且纸张长宽比仍为:1。这样一来，C4的尺寸系介于A4和B4之间，A4的纸张可以装入C4大小的信封袋中，而C4的纸张可以装入B4大小的信封袋中。

的十进制展开没有周期。

复数的绝对值定义是，而且，，。

它还是平面直角坐标系中点到点的距离。

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157...

不是有理数

证明(间接的)：假设该命题是假的，于是是一个有理数并且能被写成的形式，其中整数m和n均不为0。我们可以进一步假设和是互素的（否则约分这个分数）。

应用对于任意的整数p都成立的下列基本事实：

(ⅰ)若p是偶数，则能被4整除

(ⅱ)若p是奇数，则也是奇数

若对(4.4)两边平方，则得到

因此平方是偶数。于是，根据(ⅱ)的换位知也一定是偶数。同时根据(ⅰ)，知一定能被4整除，而据(4.5)这意味着是偶数。因此，m和n都是偶数。但这与和是互素的事实矛盾。

这一矛盾表明所做的假设，即是有理数，是假的。因此不是有理数。证毕。

我们证明迭代收敛于一个数，即，其中。

步骤1：证明对于，有。

这对于是正确的。而且，对某个固定的，从以及(4.10)，我们看出也有。根据归纳法原理我们得到，对于，有。

步骤2：证明对于，有。

这个命题对于是正确的。若对一个固定的n有，则由伯努利不等式推出：因此。根据归纳法原理我们得到，对于有关系。

步骤3：从(4.10)得到因此序列()是递减的并且有下界。从而关于递减序列的收敛性判据知存在极限

若在方程(4.10)两边取极限，则得到这意味着，从而

从对于一切的成立，我们断定。因此。证毕。

从表4.1 一眼就看出。

由恒等式通过反复带入可得及，等等。

的连分数为。

设。对于实数用有理数逼近的误差，有估值

对于我们得到典范近似分数因此是的分母的最佳有理逼近，由得误差估计

的有理数逼近如下：

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...（OEIS中的数列无限接近）

sec45°=。

csc45°=。