一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个
等边三角形，这样的数被称为三角形数。古希腊著名
科学家毕达哥拉斯把数1、3、6、10、15、21……这些数量的（石子），都可以排成
三角形，像这样的数称为三角形数。把1、4、9、16.…这样的数称为正方形数。
定义
它有一定的规律性，排列如下(构成图)，像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的
形状的总数量的数，叫做三角形数。
一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
开始个18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的
数列A000217）
第n个三角形数的公式是 或者 。
第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
开始的n个
立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102）
所有三角形数的倒数之和是2。
一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n × (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n × (2n - 1)来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：。
如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于
恒等式8Tn + 1 = S2n + 1.
特殊的三角形数
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
和其他数的关系
两个相继的三角形数之和是平方数。
所有偶完美数都是三角形数。
任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律。他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
构成图
o n=1 s=1
o o n=2 s=3
o o o n=3 s=6
o o o o n=4 s=10
o o o o o n=5 s=15
……
根据
自然数列的求和公式，对于第n项的三角形数，可以得到其计算公式为：。
应用
1)前n个三角形数的和:T(n)=s(1)+s(2)+…+s(n)
由，
得到:.。
2)判断一个数是否为三角形数:对任给一个正整数K，则若为三角形数,有:得:n*(n+1)=2K。
从而:[即2K开根号]
具体:你注意到了吗，商店橱窗里的罐头盒一般都是这样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。想一想：能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形？9是不是三角形数？再想一想：能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形？25是不是三角形数？为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成图。观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从l开始的
连续自然数的和。l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数……那么，第七个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7=28；第九个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；第十个三角形数就是：1+2+3+…+10=55；第100个三角形数就是：1+2+3+…+100=5050。
特例
1.55、5050、500500、50005000……都是三角形数。
2.第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617716）、第111111个三角形数（6172882716）、第11111111个三角形数（61728399382716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11111个和第1111111个三角形数不是。
3.三角形数还有一个规律，就是：如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里，你就会发现，每一列的数间隔都一样，而且均为前一列的三角形数，例如：
4.比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：
一开始的18个三角形数是1、
3、
6、
10、15、21、
28、
36、45、
55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253……
一个三角数乘以九再加一仍是一个三角数。
三角数的个位数字不可能是2、4、7、9，数字根不可能是2、4、5、7、8。
三角数的二倍的平方根取整，是这个三角数的序数。
性质
第n个三角形数的公式是。
第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。
开始的n个
立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10）。
所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：
如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式
与其他数关系